Mathematik

1Es geht bei der philosophischen Basis der Mathematik um die Frage nach einem wichtigen Subsystem des objektiven Geistes.

2Die Problematik um die Existenz des Objektiven Geistes behandelt man in einer ersten Annäherung am besten in unserer Darstellung der weltanschaulichen Eckpunkte. Während in der platonisch bestimmten Tradition der objektive Geist mit innerer Konsequenz als „abstrakte, unabhängige, ideale zeitlose und unveränderliche“ Größe gesehen wird, versuchte die Philosophie von Aristoteles an, über Kant und Hegel, den objektiven Geist aus den Relationen mit der Natur und mit der menschlichen und gesellschaftlichen Subjektivität zu bestimmen. Die kritische Kompetenz der „weltanschaulichen Eckpunkte“ ist die, dass keiner der vier Bereiche, nämlich des Objektiven und subjektiven Geistes, der Gesellschaftlichkeit und der Natur – ja dass sogar keine der vielen E-Entwicklungsphasen – ohne die anderen hinreichend erklärbar ist.

3Hatte Aristoteles gesagt, dass mathematischen Gebilden keine eigene Ursprünglichkeit zugesprochen werden darf, sondern dass sie nur als Abstraktionen der wirklichen Dinge anzusehen sind, dann fragt man sich, was denn diese „Abstraktionen“ sind und was dies „nur“ bedeutet.

4Auch Kant sucht einen Zusammenhang der objektiv geistigen Denkfiguren der Mathematik mit der menschlichen Subjektivität. Ihm ist die „Zahl“ ein Begriff des Verstandes, eine „Vorstellung“. Sie vermittelt zwischen dem Begriff einer Sache und ihrer sinnlichen Erscheinung. Die Zahl ist ihm das, was den Begriff von Größe überhaupt auf die sinnliche Mannigfaltigkeit anwendbar sein lässt.

5Diese Operationen des Verstandes und die Verhältnisse zwischen Verstand und den sinnlichen Erscheinungen deuten zumindest an, die Zahlen und damit die Mathematik insgesamt, werden nicht nur platonisch-statisch verstanden, sondern auch dynamisch, nämlich als Relation der weltanschaulichen Eckpunkte, der des objektiven Geistes, hier als abstrakt formulierte Zahlenverhältnisse, relationiert mit der Kontingenz von Natur, Mensch und Gesellschaft.

6Wie bei allem theoretischen und wissenschaftlichen Arbeiten geht es auch in den mathematischen Methoden um die Frage, „was ist das Ding “wirklich“ und wie können wissenschaftliche Behauptungen dazu begründet werden, und zwar in letztmöglicher Begründung. Die Mathematik und die Philosophie gehören zu jenen Bereichen des objektiven Geistes, welche diese Fragen am konsequentesten stellen.

7Wie wird der Zusammenhang zwischen der Mathematik und der Dingwelt, zum Beispiel der „ersten Materie“,möglich?

8Wie auch in anderen Wissenschaften geht es in der Entwicklung der Mathematik darum, die vorhergehenden Entwicklungsphasen innerhalb der Wissenschaft aufzuheben. Das bedeutet nach unserem philosophischen Ansatz, die alltagssprachlichen Begriffe der traditionellen Mathematik – die Struktur der klassischen Logik ist übrigens hier mit einzubeziehen – als die einer „mechanistischen“ Grundeinstellung zu erkennen. Die modellieren wir als „N-G, E“.

9Dann geht es darum, diesen mechanistischen Teil des objektiven Geistes mit N/G-Methoden und mit dem I/E-Ansatz zu verbinden. Dadurch wird es dank der formalen und inhaltlichen Relationsfähigkeiten von N/G und I/E möglich, objektivistische Erklärungen von Mathematik mit subjektivistischen Erklärungsversuchen ebenso zu verbinden wie einen Zusammenhang zwischen der Natur, der Physik und der Mathematik philosophisch zu konzipieren.

10Wie alle wissenschaftlichen Bereiche ist auch die Mathematik gleichzeitig von beiden Grundgrößen, N-G; E und N/G, I bestimmt. Aber je nach Stellung des Bereiches im arbeitsteiligen Spektrum der Wissenschaften gibt es jeweils eine Auswahl der Methoden und Begriffe. Die Mathematik ist demnach besonders gekennzeichnet von N-G, E und N/G, weniger dagegen von I und I/E.

11Das zeigt sich beispielsweise in der Wirkung der sie bestimmenden philosophischen Forderung nach reduktionistischer Entwicklung. Diese ist zwar in allen Wissenschaften konstituent, aber für die Mathematik ist sie einer der prägenden philosophischen Züge. Dann steht zum Beispiel die Axiomatisierbarkeit im Mittelpunkt der philosophischen Erklärung dieser Wissenschaft. Ein anderer Grundzug ist aber die unbegrenzte Ausdehnung der Mathematik, ihre Vereinnahmung aller Verhältnisse. Der reduktionistische Grundzug durch Negation (N) und Identitätsbildung (G) sollte von daher um N/G und I – welche beide die prinzipiellen Ausweitungen darstellen – ergänzt werden.

12Solche eher allgemeinen philosophischen Vertiefungen zeigen in den Teilbereichen der Mathematik ihre Wirkungen. So wird beispielsweise die Grundlage der Mengentheorie zu durchdenken sein. Am Beispiel der Menge der natürlichen Zahlen sei das angedeutet. Wenn gesagt wird, dass die Menge der natürlichen Zahlen sich kumulativ aus der leeren Menge bildet, dann wird eine Reihe von Voraussetzungen eingebracht, welche die Philosophie zu begründen hat.

13Zunächst kann als philosophische Erklärung der verwendeten Begriffe „leere Menge, Null, Nichts“, „Eins, Einheitselement“, „Vielheit“, „Kumulation, Addition“ die traditionelle Logik und die Alltagssprache genutzt werden. Diese beiden Sprachen wollen wir keineswegs eliminieren; sie sind vielmehr als Bestandteile eines umfassenderen philosophischen Ansatzes zu verstehen.

14Das „Nichts“ (N) ist als Teil des objektiven Geist-Bereiches fundamental. Die aus N-G verbleibende Relation G ist die Relation zum Begriff der Existenz (E) Die Hegelsche Aufhebung beider in einer unendlichen Leere begründet zwar damit den Begriff der Unendlichkeit, aber wir integrieren diesen als systematische Notwendigkeit in unsere Philosophie; nicht als Ausweglosigkeit des auf „Endlichkeit“ fixierten Denkens.

15Das E – in der Mathematik als Einheitselement, als „Eins“ – ist ebenfalls Grundelement des objektiven Geistes. In der „Vielheit“ taucht zunächst die Problematik des Überganges vom Einselement zum „Anderen“ auf. Der Übergang von den beiden Summanden zur Summe ist eine unendliche Annäherung der sich prinzipiell zunächst „fremden“ Summanden. Zudem verbirgt sich im Begriff der Kumulation eine unendliche Richtungsart, alltagssprachlich als „in die Weite“, „in die Höhe“ gerichtet zu verstehen, sowie ein „Antrieb“, welcher den Prozess der Übergänge, hier in der Addition, garantiert .Und schließlich zeigt es sich, dass alle Kalküle, nicht nur die Addition, ohne diese zwei Unendlichkeitsüberlegungen philosophisch nicht verständlich gemacht werden können.

16Zusammenfassend haben wir, auf wenige Vorstellungen reduziert, zwei Arten der Unendlichkeit, die Endlichkeit und die eher verborgenen Voraussetzungen der Richtung und des Antriebes dieser Prozesse, sowie das Nichts.

17Es gibt jetzt zwei Möglichkeiten, ein System zu errichten. Einerseits liegt allein eine interne gegenseitige Beweisstruktur vor oder die elementaren Behauptungen lassen sich auf die Erste Physik, das heißt auf ein Modell einer Begründung der Materie, zurückführen. Ich versuche beide Möglichkeiten zu vereinen.

18In unserer Modellierung der Materie entspricht z/w der Einheit (E), „ z, w“ der Zweiheit, beide sind einander „fremd“, die Richtungen (I) sind Rz und Rw – von denen hier erstmal nur Rw gebraucht wird. Ihre Richtungen gehen in zweifacher Weise in unendliche „Tiefe“ und “Weite“. Der S-Aspekt erfüllt die Erwartung an jenen verborgenen „Antrieb“. Alle z/w-Varianten bilden die Endlichkeiten des Seienden und die z-z- und w-w-Konstellation sind weitere Formen von Unendlichkeit; zusammen mit der Endlichkeit, „Einheit“ (z/w) erzeugen sie die Vielheit.

19Mit dem doppelten Ursachenkomplex, der Erzeugung der mathematischen Strukturen innerhalb des objektiven Geistes und aus der physikalischen Basis, sind die zwei wichtigsten traditionellen Philosophieschulen, die idealistische und die materialistische, zufriedenzustellen.

20Bevor wir hier einige mathematische Einzelgebiete betrachten, seien noch ein paar allgemeine Strukturen im Sinne unseres Philosophieansatzes in unsystematischer Weise genannt. Die Mathematik stützt sich in vieler Hinsicht auf die klassische Logik. Die Widerspruchsfreiheit wird „objektiv-begrifflich“ auf N -G zurückgeführt; der denkbar extremste Gegensatz ist der zwischen „Nichts“(N) und dem Verfahren der Identitätsbildung (G).

21Das genügt aber seit der Entwicklung der begrifflichen Dialektik nicht mehr. Vielmehr muss nun auch für die mathematische Thematik von einer Meta-Relation „Logik zu Dialektik“ („N-G zu N/G“) ausgegangen werden.

22Die Minimalisierungstendenzen in der Mathematik. – zum Beispiel die Suche nach „Einselementen“ – sind einerseits auf die philosophische Grundstruktur der E- Seite zu reduzieren, welche mit möglichst Wenigem auskommt und sogar mit weniger Elementen als die Einzelwissenschaft Mathematik benötigt –, andererseits auf die extrem reduzierte Basisstruktur der physikalischen Welt. Die materialistische Fundierung ist die der einander ausschließenden Dualitäten z zu w und „z,w“ zu z/w .

23Die nicht-räumlichen Richtungen im Bereich der Ersten Physik, die in die unendliche Weite und in die unendliche Tiefe, welche wir Rz und Rw zuschreiben, charakterisieren zum Beispiel gleichfalls die reellen Zahlen.

24Wie in jeder „Sprache“, kann auch in der Mathematik zwischen „Objekten“ – zum Beispiel Mengen – und „Prädikaten“ unterschieden werden. Wir reduzieren das auf den relativen Gegensatz von E und N,G .

25Wie schon angedeutet, definiert sich die Mathematik auch dadurch, dass sie sowohl endliche (E, G) wie unendliche (I, I/E, N/G) „Objekte“ und „Prädikate“, Verfahren, Methoden etc. zugleich hat und darüber hinaus, dass sie beide in ein Metaverhältnis setzen kann.

26Die Nähe der Arithmetik zu den vor-räumlichen z und w ist größer als die der Geometrie, weil die Geometrie auf Rz-Rz/Rw- Komplexen – den Raum-Dimensionen – aufbaut. Das hat zum Beispiel zur Folge, dass die raumzeitlichen Hilfsvorstellungen bei der Interpretation von mathematischen Verstehenszusammenhängen – wie beispielsweise die in der Arithmetik – entfallen müssen. Dann wird hilfsweise in der sprachlichen Erfassung dazu gegriffen, einen Sachverhalt mit Vorstellungen aus anderen Lebensbereichen zu umschreiben. Das oben für die Zahlentheorie genannte „Streben in die Weite“ ist von dieser Art.

27Ein anderes Beispiel dieser Wirkung zeigt sich in den logizistischen Begründungen von Mathematik durch Frege und Russell. Dort haben die “Dinge“, so zum Beispiel die Zahl „Eins“, keine Strukturen und keine Extension. Das ist keiner Willkür im Denken geschuldet. Vielmehr ist es – wohl intuitiver – Ausdruck der Tatsache, dass Mathematik konsequenterweise das wirklich „Allererste“ zu erfassen hat. Und das ist im Materiellen nicht eine gleichgewichtige z/w-Relation, sondern das isolierte z – beziehungsweise das isolierte w . Diese beiden sind vor-räumlich und daher auch ohne eigene Struktur und Extension. Und sie sind vor-zeitlich, ewig. Sie sind zugleich mit dieser Variante der Unendlichkeit auch das, was man das Nichts nennt – sowie das, was man das Erste Sein nennt.

28Man kann die philosophische Systematisierung der Mathematik auch so anlegen, dass bisherige philosophische Versuche miteinander verbunden werden.. Das betrifft Hilberts „Finitismus“, den „Intuitionismus“ und das „konstruktivistische“ Projekt.

29Um unsere Arbeit als „Aufhebung“ der vorliegenden Theorien zur Mathematik zu verstehen, muss man sich zunächst zwei traditionelle philosophische Grunderkenntnisse vergegenwärtigen. In allen Wissenschaften geht es darum, die Dingwelt mit Hilfe der subjektiven menschlichen Eigenschaften in das zu transformieren, was man den objektiven Geist nennen kann. Alle Methoden sind mehr oder weniger gegeneinander abgrenzbare Formungen der Relationen, die zwischen der Natur, dem emotionalen, vergesellschafteten und kulturellen Subjekt sowie den Strukturen des objektiven Geistes herrschen.

30Der „finitistische“ und „reduktionistische“ Ansatz betont in diesen – unendlichen – Übergangsfeldern zwischen den vier Eckpunkten nun bestimmte Standards des objektiven Geistes Der Konstruktivismus sucht sich gleichfalls nur einige Elemente des objektiven Geistes heraus, verbindet diese aber mit „Bildern“ der allgemeinen kulturellen Praxis, der philosophisch-idealistischen Interpretation von „Technik“ und von „Lebenserfahrung“; also eher mit den zwei mittleren Eckpunkten.

31Der Intuitionismus betont – noch einen Schritt in der Entwicklung „zurück“ gehend – die emotional-rationalen Übergänge, die als konstitutiv für die individuelle Subjektivität zu gelten haben.

32Diese drei Schwerpunkte kann man als vorläufige Basis für eine umfassende Wissenschaftstheorie und Methodologie ansehen; vor allem auch deshalb, weil alle Wissenschaften dadurch charakterisierbar sind.

33Bevor wir diese Strukturen nun in der speziellen Einzelwissenschaft Mathematik nachweisen, sollte auch hier noch einmal gesagt werden, dass wir diese Art der Erklärung, die auf die vier ausgewählten Entwicklungsphasen reduziert ist, nur als eine vorläufige und daher weiterhin zu begründende ansehen.

34(1) Das Hilbertsche Programm muss als allgemeines Reduktionsschema zur Erstellung finiter Grundlagen aufgefasst werden. Damit wird aber nur eine kleine Auswahl aus der Breite der wissenschaftlichen Methodik bevorzugt, nämlich N-G-Methoden. Die Auswahl ist nicht willkürlich, sondern stützt sich auf die klassische Logik; beide sind aber in einer modernen Philosophie erst zu begründen. Denn jede „reine, autonome, endgültige“ Methode mit finiter Entscheidbarkeit wirft eine Fülle von Problemen auf, die nur außerhalb ihrer Reichweite zu lösen sind. Ein finit argumentierendes Entscheidungsverfahren für die Widerspruchsfreiheit, das nur außerhalb dieses rekursiven Ansatzes begründet werden kann, ist dennoch wichtig, nämlich für eine umfassende philosophische Erklärung der Mathematik, so beispielsweise bei der „Algebraisierung“.

35Wir stützen uns, wie gesagt, auf die Breite der „N-G zu N/G-Relation“ wie sie in den einzelnen Entwicklungsphasen konkretisiert wird. Die originär philosophische Einsicht, welche die Einzelwissenschaften dann übernehmen sollten, wenn sie fundierende Absichten haben, verweist auf die mit der Entwicklung verbundenen Übergänge zwischen den Methodenarten. Dann kann beispielsweise verdeutlicht werden, dass an jedem rationalen Vorgang (N – G) unabweisbar auch das menschliche Verstehen dieses Vorganges beteiligt ist (N/G). Diese subjektiven „Reste“ sind weder zu negieren noch zu irrationalisieren; sie sind ihrerseits Objekte möglicher und umfassender wissenschaftlicher Analyse. Das aber ist nicht nur ein unendlicher Regress, sondern führt zugleich zu anderen Entwicklungsphasen. Hier führt das von dem relativ „reinen“ Bereich des objektiven Geistes zu dem der menschlichen Subjektivität.

36(2) Die intuitionistische Deutung der Mathematik geht vom alltäglichen emotional-rationalen Verstehen aus. Wenn man nur auf der Erklärungsebene bleibt, welche diese drei meta-methodischen Ansätze umfasst, dann ist es garnicht die Polemik der Finetisten als die es gemeint ist, wenn der Intuitionismus als „präzisionsunfähig“ abgewiesen wird. Denn genau das ist das Verhältnis von N-G zu N/G-Methoden – formuliert in einer unpräzisen Umgangssprache.

37Die rationale Erfahrungskomponente kann als Erweiterung des finitistischen Standpunktes angesehen werden. Die emotionale Färbung bedarf der weiteren Erläuterung durch die Analyse der psychologischen Voraussetzungen. Mit dieser Relationierung von Emotionalem mit dem rationalen Bereich – die wir als unendlichen Übergang fassen – wird die Analyse jeder Methode berührt und zwar nicht nur in der Mathematik.

38So wie auf der von uns postulierten maximal abstrakten Ebene die N/G-Verfahren und N/G – Methoden die N-G-Methoden als ihre Randerscheinung haben, so verhalten sich auch die intuitionistischen zu den finalen Überlegungen. Deshalb können die Verfahren aufeinander angewendet werden – freilich nicht ohne dabei Unendlichkeiten und einen „Rest“zu erzeugen, der auf andere Entwicklungsphasen verweist, hier zum Beispiel auf die menschliche Subjektivität sowie auf Bereiche der Kultur.

39Darüber hinaus gilt, dass auf einer weniger abstrakten, auf einer praktischeren Ebene alle drei Standpunkte, der finitistische, der intuitionistische und der konstruktivistische in allen Überlegungen zur Fundierung der mathematischen Einzelbereiche nachgewiesen werden können; in formalen wie beliebigen Gesetzen, Beweisen und Operationen.

40(3) Die konstruktionistische Variante zur Bestimmung der Mathematik und ihrer Grundlagen geht von rationalistischen und intuitionistischen Verfahren aus und vereint beide als „wissenschaftlich-technische Erfahrung“ und praktisches Handeln.

41Dieses eher verunklarende Zusammenspiel verschiedener Ausgangsgrößen lässt mich alle drei Grundverfahren kritisieren. Deren Stärke ist die Nähe zu „praktischen“ Erfahrungen, gewonnen vor allem dadurch, dass vieles einbezogen oder zumindest angedeutet wird. Aber solchen „synthetisierenden“ Erkenntnisverfahren müssen weitere analysierende Schritte zur Seite gestellt werden.

42Meine detaillierte Auffassung sei jetzt nur in wenigen Bemerkungen zur Zahlentheorie angedeutet.

43Zunächst stecken in dem was begrifflich „Zahl“ genannt wird der Gedanke der Identität (E) sowie die „Kalküle“ wie die Addition; aus beiden lassen sich zum Beispiel die Natürlichen Zahlen erzeugen.

44Die Identität als einfache Einheit (E), als deren Bereichsrepräsentant die „Eins“ für die natürlichen Zahlen verstanden werden kann, ist eine letzte, unhintergehbare einfache und zeitlose Größe und damit eine Figuration des objektiven Geistes. Aber sie ist sehr wohl noch weiterhin begrifflich zu erklären, wie auch „materialistisch“ herzuleiten.

45Zu diesen weiteren begrifflichen Relativierungen von E gehört zum Beispiel, dass es verschiedene Zahlenarten gibt, dass die Einheiten dieser Zahlenarten Verallgemeinerungen der „Eins“ sind und dass sie ohne die dazugehörigen Kalküle keinen Sinn machen. Das deutet darauf hin, dass E von allgemeinerer Bedeutung ist als es seine mathematischen Ausprägungen sind, und dass auf einer derartigen philosophischen Ebene die Kalküle Konkretisierungen von Relationen zwischen den E sind. Diese Verhältnisarten, Kalküle, welche die verschiedenen Zahlenarten erzeugen, werden von uns unter dem Gesichtspunkt der Beziehung der Endlichkeit zur Unendlichkeit untersucht.

46Zum anderen werden wir die für die Fundierung der Mathematik herangezogenen und dafür spezifizierten N- und G-Relationen wieder auf die z,w-Modelle der Ersten Physik beziehen, auch um die enge Verbindung von Mathematik und Physik besser zu verstehen.