Meine Behauptung ist, dass in den Zentren philosophischen Erkennens jeder philosophischen Schule die gleichen und invarianten Strukturen zu finden sind und dass diese in den Einzelwissenschaften – hier in der Mathematik, in deren Sprache und Methoden, in deren Grundlagen und Problemen – ebenfalls zu finden sind. Solche Gemeinsamkeiten von philosophischen und wissenschaftlichen Projekten sind beispielsweise wissenschaftstheoretische Prinzipien wie Widerspruchsfreiheit, Vollständigkeit, Axiomatisierbarkeit, Entscheidbarkeit, Beweisbarkeit. Aber auch Probleme wie Widersprüchlichkeit, Unvollständigkeit, Unentscheidbarkeit.
Soll die Mathematik eine philosophische Basis erhalten, muss eine Ebene gefunden werden, auf der diese bereits gegebenen wissenschaftlichen, philosophischen und auch weltanschaulichen Standpunkte zur Mathematik vereint und philosophisch systematisiert werden können. Auch zum Alltagsverständnis von Mathematik sollte von einer derartigen Philosophie eine Brücke geschlagen werden können.
Es geht mir in einem derartigen Versuch darum, meine philosophische Basis, vor allem den Entwicklungsgedanken und die Modellierung der „Ersten Physik“ sowie die abstrakten Strukturen des „Objektiven Geistes“ mit den Grundlagen der Mathematik, wie sie von der Wissenschaft selbst und von wissenschaftstheoretischen-philosophischen Deutungen versucht wurden, zu verbinden.
Das Verhältnis zwischen konkreter Welt und der Mathematik wird manchmal als Abbild, Reproduktion oder Spiegel der konkreten Dingwelt umschrieben. Die Mathematik erschöpft jedoch dies Original einerseits nicht, geht aber in dessen Erweiterung, Negation und Veränderung über die konkrete Dingwelt hinaus.
Die Überführung der natürlichen Welt in die ideelle Welt der Mathematik ist beispielsweise ein einfach scheinender Übergang vom komplex Relationierten in einfache Identitätsbeziehungen ( G ) und Existenzdarstellungen ( E ). Tatsächlich aber ist dieser Übergang begrifflich ziemlich kompliziert, er umfasst nämlich die Mathematik gänzlich und in ihren Details.
Das was als philosophische Basisannahmen bereits aufgezeigt wurde, muss jetzt in seiner spezifischen Relevanz für die Gebiete der Mathematik ausgeführt werden. Unsere philosophischen Grundstrukturen seien hier noch einmal dargestellt. Sie sind von den zwei Polen, der Ersten Physik als „z,w“ und dem objektiven Geist – E,I,N,G – bestimmt. Zwischen beiden Polen liegt die E-Entwicklung und die I -Entfaltung. Die „Phasen“ zwischen den Polen analysieren wir als eine Weiterentwicklung des Überganges von der quantenphysikalischen z/w-Relation zu der Quantenphase der z-w-Trennung. Die Mathematik ist einer der Bereiche, welche als Entwicklungsphasen im Übergang von z,w – und das heißt von Rz, Sz und Rw, Sw – zu den abstrakten Begriffen des Objektiven Geistes, die wir als E,I,G,N abkürzen, gebildet wird.
Die Grundgrößen z und w vereinen in sich Existenz mit Nichtexistenz, denn sowohl der S-Aspekt wie der R-Aspekt müssen als seiend angesehen werden, aber auch zugleich als außerhalb der rationalen begrifflichen Darstellung liegend. Die zwei Richtungsaspekte Rz und Rw sind einander entgegengesetzt. Sie sind nicht nur als räumliche zu verstehen, sondern fundieren selbst erst Raum und Zeit, zeigen aber in der Mathematik, dass sie noch allgemeinere Bedeutung haben können.
Insbesondere ist bei der Entwicklung von den z,w zu den E,I,N,G. der Mechanismus wichtig, der die Trennungen der I und E einerseits von den N und G; dann die E von den I und der N von den G; schließlich der I/E von I-E und N/G von N-G bewirkt. Diese so formalistisch scheinenden Schritte in der Entwicklung werden durch die Abnahme der S- Kräfte und der dadurch eintretenden Freiheiten der R-Aspekte hervorgerufen. Vereinfacht könnte man an dieser Stelle sagen, die systematisch geordneten Strukturen der Mathematik werden von den physikalischen Grundkräften, zum Beispiel von der Gravitation ( Sz) und der Elektrodynamik ( Sw ) inhaltlich dargestellt. Jedoch findet durch die Entwicklung eine Veränderung, eine Abstrahierung von den Kraftaspekten statt, welche die zwei unterschiedlichen Richtungsarten ( Rz,Rw ) dieser zwei Grundkräfte in den Vordergrund treten lässt. Dabei muss man bedenken, dass es neben den Grundkräften in der Welt keine andere Basis gibt und dass es daher für die Mathematik auch keine alternativen Basisstrukturen geben kann.
Neben der Mathematik gibt es die anderen gleichfalls als Entwicklungsphasen darstellbaren Einzelwissenschaften. Sie unterscheiden sich untereinander und auch von der Mathematik durch die Konkretisierungen dieser E,I,N,G und durch eine jeweilige Auswahl aus diesen Grundgrößen. So werden dann neben Rz, Rw und N,G,E speziell in der Mathematik N/G und die Relation „N/G zu N-G“ wichtig. Zum Spezifikum der Mathematik gehört auch, dass die S-Aspekte und die I-Seite als subjektive Zielfunktionen dort keine Rolle spielen.
Die allgemeine Entwicklung hat formal und inhaltlich zwei objektive Ziele, das ist die E-Vollendung und die unendliche I-Offenheit. In der Mathematik erscheint das konkret als Erarbeitung und Umgang mit endlichen Größen ( E ) – zum Beispiel die einzelnen Natürlichen Zahlen – und mit Unendlichkeiten, zum Beispiel die unbegrenzte Anzahl dieser Zahlen.
Wie jede konkrete wissenschaftlich- inhaltliche Erscheinung bestehen auch die der Mathematik grundsätzlich aus I/E-Relationen. „ Inhaltlichkeit“ ist genauer als „ I/E zu I-E“-Erscheinung zu beschreiben. Wobei sich die einzelnen Wissenschaften darin unterscheiden, entweder I oder E oder eine je spezifische Kombination beider zu betonen. Die Mathematik hat es sich zur Aufgabe gemacht, die E-Seite hervorzuheben und die I-Seite durch den R-Aspekt abzudecken.
Die Wissenschaften und die Philosophie sind von grundlegenden Dualitäten gekennzeichnet, zum Beispiel als „Eigenschaften und Beziehungen“ ,“Ding und Tat“, „Produktion und Produkt“. Solche Dualitäten prägen auch das Alltagsverständnis. Sie erscheinen exemplarisch in der Mathematik als Zahlen- und Mengenbegriff einerseits und als Relationen, wie etwa die Kalküle, andererseits. Philosophisch wird diese Dualität in der Mathematik durch E und N/G vertreten.
Entwicklung und Einteilung in die Phasen
Seit Hegel und Marx ist unbestreitbar, dass die menschliche Erkenntnis nicht nur durch einen bestimmten historischen Zustand, sondern vor allem von der Entwicklung selbst bestimmt wird. Allerdings geht es dabei nicht nur um die bloße und formale Bewegung. Die einander in der Entwicklung ablösenden theoretischen Konzepte der Einzelwissenschaften – hier das der Mathematik – sind dabei in ihrer methodischen und inhaltlichen Konkretheit deutlich unterscheidbar.
Um sich jener Phase der Gesamtentwicklung zu nähern, die die Mathematik darstellt, soll zuerst noch einmal an diese allgemeine Entwicklung erinnert werden, die als die wichtigsten Phasen und die Übergange zwischen ihnen darzustellen ist. Zu den Phasen gehören die Physik, die Biologie, die menschliche und gesellschaftliche Subjektivität, die Phase der „Sprachen“ sowie der Objektive Geist. Die Mathematik ist der Übergang, der Entwicklungsschritt zwischen der Subjektivität und dem Objektivem Geist. Man kann dabei jene Phasen, in denen E und I eine wichtige Rolle spielen, von den Phasen, in welchen eher N und G wichtig sind, trennen und unterscheiden.
Entwicklung der Mathematik aus der Materie zum Geist
Die Mathematik ist sowohl im materiell Seienden wie auch im geistigen Seienden verankert; das besagt schon die wissenschaftliche Erfahrung. Daher lässt sich mittels der Mathematik ein Übergang und ein Zusammenhang zwischen Materie und dem Geistigen herstellen. Ein derartiger Übergang ist Teil der allgemeinen Entwicklung. Es bedarf allerdings einiger Zwischenphasen, um den Zusammenhang von materieller Phase und Mathematik zu erreichen. Abstrakt und in unserer Modellierung gesprochen, geht es vor allem darum, die zwei R-Aspekte, welche die Erste Physik charakterisieren, in N und G zu überführen.
Die vier Grundgrößen N, G, E und I durchlaufen ihre Entwicklung und erscheinen in allen Phasen, von der Physik über die Biologie und das Gehirnorgan bis zur Mathematik als Teil des Geistigen, jedoch sind sie jeweils „inhaltlich“ verändert. Weil die Phasen in einem derartigen Entwicklungszusammenhang stehen, sind diese konkreten Bereiche mathematisch operationierbar, das heißt, man kann die Mathematik deshalb auf sie anwenden, weil alle Phasen miteinander wechselwirken.
So ist zum Beispiel das Gehirn selbst Teil, Sub-Phase der allgemeinen Entwicklung und leistet zugleich einen wesentlichen Teil der Entwicklung, wenn es andere Phasen mit erzeugt. In den Funktionen des Gehirns erscheint die Entwicklung als Übergänge von der empirischen Wahrnehmung über die alltagssprachliche Formulierung des Wahrgenommenen bis zur mathematischen Abstraktionsstufe. Dabei geht es wiederum stets um die vier Grundgrößen in ihrer spezifischen Entwicklung. Die Gehirnleistung besteht weiterhin darin, E,I,N,G in ein kompliziertes Gemisch aus Trennungen und Beziehungen zu ordnen.
Es geht also darum, eine philosophische Systematik zu finden, welche die Naturdinge und die Kultur-und Geistesbereiche sowie die Mathematik integrieren lässt. Es ist keineswegs so, dass diese Bereiche unverbunden sind. Die Herausforderung für die Forschung sind die Übergänge zwischen ihnen.
Die Entwicklungsphase „Mathematik“ entsteht insbesondere als Übergang von der menschlichen Subjektivität zum „Objektiven Geist“ Als Teil des Objektiven Geistes gewinnt die Mathematik eine Abtrennung von allen vorhergehenden Entwicklungsphasen. Aber zugleich ist sie ein Denkprodukt, das vom menschlichen Subjekt erzeugt wird. Sie ist von beiden abhängig und zugleich von ihnen unabhängig. In diesem Übergangsfeld gelten vor allem die Relationen der Grundgrößen, wie N – G und N/G. Unsere philosophische Behauptung ist dann, dass mathematische Gegenstände sowohl objektive Existenz haben wie sie gleichzeitig subjektiver Natur sind.
Sowohl die Subjektivität wie die Mathematik und auch der Objektive Geist sind drei Entwicklungsphasen, welche voneinander getrennt und zugleich aufeinander bezogen sind. Die Übergänge zwischen ihnen heben diese beiden widersprüchlichen Relationen auf. Anders gesagt, der alte Gegensatz Objekt-Subjekt wird aufgehoben.
Die denkerische subjektive Aktivität, welche den Objektiven Geist erzeugt, ist nichts anderes als eine Teilfunktion des allgemeinen Entwicklungsvorganges. Dazu gehören zum Beispiel auch der Übergang zwischen der Logik (N-G) und der Dialektik (N/G) und letztlich der zwischen z und w sowie zwischen E und I .Da diese Übergänge von den Entwicklungsprozessen geprägt sind , das heißt von Unendlichkeiten und Wechselwirkungen, ist ein Verständnis dieser Begriffe sehr schwierig.
Es ist die objektive Entwicklung, welche diesen Dualitäten möglicher subjektiver Reflexionsarbeit erlaubt, die „Wechselwirkungen“ aktiv zu erzeugen und diese ebenso aktiv auszuschließen, also als „Objektiven Geist“ auch das E als „bares Faktum“, oder „ideale Existenz“, oder eben als wohl unterschiedene abstrakte Größen durch Denken zu erzeugen.
Diese herkömmliche, auch Hegelsche Schilderung der Denkprozesse ist ohne ihre Begründung in den zwei Phasen der Quantentheorie schwerlich zu verstehen. Wie schon angedeutet, beruhen diese dualen Begriffe auf einer Weiterentwicklung der dortigen Phase der absoluten Trennung zwischen den z und den w einerseits und zwischen diesen und den z/w-Relationen andererseits sowie der Phase, in welcher es eine enge und auch gleichgewichtige Einheit als Relation zwischen allen diesen Größen gibt, was als z/w modelliert wird.. Die genannte Weiterentwicklung besteht nun darin, dass diese Dualität in den durch E und I beziehungsweise durch G und N beschreibbaren Phasen sich begrifflich reproduziert.
Wie hängen die zwei Phasen mit der „Entwicklung“ zusammen? Immer wenn die z/w-Phase beziehungsweise die I/E- und N/G-Phase erscheint, findet tatsächlich ein dynamischer Prozess statt, der als Entwicklung interpretierbar ist. Der Ablauf der Entwicklung besteht dann in unendlich vielen (Rw) und unendlich kleinen (Rz) Schritten in einem Übergangsfeld. Darin wird Sw und Sz abgeschwächt, es wird der R-Aspekt in I überführt und das Rz/Rw-Gleichgewicht in E. Oder es wird beispielsweise auch I eliminiert. Beim Übergang vom subjektiven zum Objektiven Geist geschieht alles das konkret als Akte des wissenschaftlichen Denkens. Dieser Entwicklungsablauf ist also auch durch Gehirnfunktionen beschreibbar.
Aber die Hoffnung, die Mathematik sei allein aus diesen Denkfähigkeiten der Subjektivität zu erklären, sind nicht allzu tragfähig. Zum einen ist auch das menschliche Subjekt selbst Produkt der ihm vorhergehenden Entwicklung, und dazu kommt, dass die Mathematik insofern nicht nur ein gewisses Endergebnis aller Entwicklungsschritte aus der Ersten Physik ist, und dass vielmehr noch die Beobachtung hinzukommt, welche besagt, dass die mathematischen Strukturen zugleich von dem bestimmt werden, was als Objektiver Geist gelten kann. Anders ausgedrückt, jene höhere Phase des Objektiven Geistes – E,I,N,G – bestimmt rückwirkend auch alle Phasen, die ihr vorhergehen.
Wie sind nun die Eigenarten der Mathematik aus diesen Phasen und Entwicklungsübergängen zu erklären? Sehr allgemein kann man erkennen, dass im Gegensatz zu allen „Vor-Phasen“ in Natur und Kultur die mathematischen Funktionen als strikte Trennungen ebenso wie andererseits als unbegrenzte Relationsmöglichkeiten von Größen erscheinen. Während zuvor zum Beispiel im Emotionalen und im Sprachlichen Trennungen und Kontextualität kaum voneinander zu unterscheiden sind, kann man beide Verfahren in der Mathematik entschiedener voneinander trennen und zum Beispiel jedes Verfahren für sich konsequenter durchführen. Diese Situation ist der in der Quantentheorie nahe. Deshalb ist die Mathematik dieser eben näher als die Alltagssprache.
Wie hängen dann die z und w der quantentheoretischen Grundmodellierung mit der Mathematik zusammen? Die z und w sind in ihrer „Existenz“ selbstidentisch. Aber „zugleich“ sind die z und w fähig, die drei Relationen z/z und w/w sowie z/w zu bilden. Diese Eigenarten – ihr Existenz-Charakter und die Relationsfähigkeit – erscheinen in allen Entwicklungsphasen wieder, im E-Charakter der jeweiligen Phänomene und in den verschiedenen Relationierungen und Methoden, welche auf N und G zurückgeführt werden können.. Das gilt auch für die Grundstrukturen der Mathematik. Viele Strukturen müssen als völlig autark verstanden werden, und dennoch gehen sie wie selbstverständlich Verbindungen ein. Wie beispielsweise die der gewöhnlichen „Gleichsetzung“ oder wie die Relationsbildung zwischen Zahlen durch die Kalküle. Wie die z/w-Relationen allgemein sind auch die mathematischen Phänomene fähig, sich in unbegrenzt viele verschiedenartige Formen zu verwandeln..
Für das begriffstheoretische Denken besteht die Mathematik in einer Anzahl von Theorien. Manchmal meinten Philosophen, sie sei nicht mehr als eine Gesamtheit wahrer Sätze, die mit Urteilen verbunden sind. Aber es gibt eben auch die zwei Außenbezüge von Mathematik, zum Naturgegenstand, an dessen Analyse sich die mathematischen Gesetze gebildet haben sowie ihre Beziehung zum denkenden Menschen. Wir verbinden diese beiden relativ als „objektiv“ anzusehenden „Pole“ – Materie und menschlicher Geist – durch die allgemeine Entwicklung. Die Mathematik ist eine Phase dieser Entwicklung und kann daher sogar selbst als eine spezielle Variante der allgemeinen Entwicklung dargestellt werden.
Die Objektivität der Naturdinge besteht auch in den raumzeitlichen Wirkungszusammenhängen, die durch die Grundkräfte erfolgen. Während der Entwicklung nehmen diese Kräfte ( Sz und Sw ) und die mit ihnen verbundene Energiewirkung ab. Die R-Aspekte gewinnen dadurch an eigenständiger Freiheit. und wandeln sich schließlich in subjektive I. Genau das aber gilt für die Mathematik nicht. Darin besteht ihre spezielle Abweichung von der allgemeinen Entwicklung. Der Unterschied von „konkreter“ Arbeit an der Natur mit ihren menschlichen Zielen ( I ) und geistiger mathematischer Arbeit ist die Entwicklung der R-Aspekte anstatt der I-Ziele. .Es ist das ein Charakteristikum von Mathematik In der Mathematik verwandeln sich zwar die Rz und Rw auch, aber „in geordneten Bahnen“. Der Entwicklungsweg von der engen Relationierung S/R in den z beziehungsweise w hin zur Trennung R-S hat die Alternative, in welcher der R-Aspekt erhalten bleibt – das ist in der Mathematik der Fall. Im Subjektiven geht der R-Aspekt in die I-Form über, der Geist gewinnt die subjektiven Freiheiten, gegen die objektive Natur und auch die Möglichkeit, „irrend“ gegen die objektiven geistigen Zwänge der Mathematik zu verstoßen.
Mathematische Verbalisierungen wie zum Beispiel „man bilde“ oder „man gehe über zu“ sind zwischen Praxis, körperlicher Tätigkeit und „objektivem Geist“ angesiedelte Bilder aus der Alltagssprache. Das gilt auch für Begriffe wie beispielsweise die „Menge“. Als geistige Gebilde sind die Strukturen und Methoden der Mathematik aber nahezu total abstrakt und daher alltagssprachlich nur in spezifischer Weise begreifbar. Die Philosophie zeigt Brücken für das Verstehen. Die Herstellung solcher Berührungen sind pädagogisch dringend notwendig, jedoch keineswegs selbstverständlich. Sie werden möglich dank der philosophischen Gesamtstruktur, nach der prinzipiell jede Entwicklungsphase mit jeder anderen in Wechselwirkung tritt. Was wiederum eine Folge des allgemeinen Entwicklungszusammenhanges ist.
Große Bereiche der Wissenschaften und der Philosophie, die historischen, kulturellen und geisteswissenschaftlichen nämlich, sind mit der Mathematik durch das Hegelsche Erkenntnis-Apercue verbunden, dass das System der Philosophie als Geschichte der Philosophie zu verstehen sei. Diesen Gedanken fasse ich genauer als die Entwicklung der inhaltlichen Größen E und I und der methodischen Größen G und N. Der Prozess der historischen Entwicklung der menschlichen Gattung und die Mathematik erweisen sich deshalb nicht als unüberwindbarer Widerspruch, weil beide als bestimmte E- und N/G-Relationen und deren Entwicklung bestimmbar sind.
Aber es genügt nicht, dass das determinierte Phänomen Mathematik allein Ausdruck der ideellen Reflexion des jeweils erreichten historischen Standes der menschlichen Denkfähigkeiten ist. Diese formale Seite muss zusätzlich inhaltlich bestimmt werden.
Es geht dabei eigentlich um zwei zu unterscheidende Entwicklungsphasen. Der denkende Mensch, der subjektive Geist, erzeugt zuerst Bereiche wie die Rationalität, die Syntax der Sprachen oder eben auch die Mathematik aus solchen Vor-Phasen wie es zum Beispiel die „Emotionalität“ oder das „menschliche Handeln“ und die „Erfahrung“ sind. Es bedeutet einen anderen, weiteren Entwicklungsschritt, wenn dann der Objektive Geist als E,I,G,N vom Subjekt reproduziert wird und zur Erzeugung der Mathematik ebenfalls herangezogen wird.
Beide Entwicklungsphasen sind deshalb „objektiv“ zu nennen, weil sie vom erzeugenden Menschen als Strukturen expliziert werden, die auch im Menschen „von Natur aus“ angelegt sind, das heißt, sie sind für die vorhergehenden Entwicklungsphasen ebenfalls konstitutiv.
Anders gesagt, der Objektive Geist als Entwicklungsphase nimmt – da alle Phasen sich gegenseitig beeinflussen – Einfluss auf das subjektive Denken. Und zwar geschieht das mit einem gewissen „Zwang“. Auch die Mathematik als Entwicklungsphase versucht alles zu erfassen, alle anderen Phasen, auch kulturelle oder psychologische Kernbereiche, und auch sie übt dabei die bekannten strikten Denkzwänge aus
Wir stellen die gegenseitige Einflussnahme der Entwicklungsphasen – zum Beispiel die der subjektiven Emotionalität auf die der Mathematik oder umgekehrt – als Übergangsfelder zwischen beiden Phasen dar. In diesem Feld ist der eine „Pol“ die kulturell-historischen und emotionalen Inhalte, als I/E modelliert. Der andere Pol ist die Mathematik in ihrer philosophischen Modelldarstellung, in der die I-Funktion durch die R-Aspekte ersetzt ist, womit eine Verbindung zur Physik erhalten bleibt.. Zwischen beiden Polen finden als „unendlich“ zu charakterisierende Wechselwirkungen statt. Das Geschehen in diesem Übergangsfeld ist eine „Kurzform“ der gesamten Entwicklung von den Rz und Rw zu den N, G und E und den I. Genauer gesagt, sind es jene Entwicklungsveränderungen, welche von jeder Phase zur nächst höheren Entwicklungsphase führen.
Dieser hier angedeutete Übergang ist das, was als Unterscheidung der allgemeinen begrifflichen Erfassung der konkreten Welt zu der speziellen Erfassung der Welt durch die Mathematik bedeutet. Als später noch zu begründende Folge der Übergangsprozesse fehlen dann in der Mathematik der S-Aspekt und die I- Seite.
Der Unterschied von Mathematik und objektivem Geist besteht darin, dass die Mathematik keine I-Größe enthält. Diese I sind zum Beispiel die Zielsetzung der „freien Phantasie“ oder auch der „menschliche Wille“. Sie sind also mathematisch nicht zu erfassen. Die verbleibenden E,N,G und R erlauben es aber, eine spezielle Verbindung zwischen der konkreten Erfahrungswelt und der mathematisch-abstrakter Welt herzustellen. Andererseits ist die Verbindung zwischen dem subjektivem Geist und jenen Weiterentwicklungen notwendig, um Mathematik noch teilweise anschaulich und dadurch verstehbar machen zu können.
Vor allem in praktischen Bereichen des Alltagslebens prägen sich die Ausdrucksgestalten als Beispiele einer allgemeinen Form – G,E,N – besonders gut aus. Das heißt aber nicht, dass linear aus Alltagsbegriffen, wie beispielsweise der Negation oder der „Gleichsetzung“ die abstrakten mathematischen Formen ableitbar wären. Vielmehr ist anzunehmen, dass diese mathematischen Abstrakta über die vorhergehenden biologischen und auch anthropologischen Phasen zwar ontogenetisch erscheinen, dass sie dann aber weitgehend abgeschlossen sind und sobald ein Mensch erwachsen ist, nur noch kulturell vorliegen und sich kulturell weiter entwickeln.
Die vier Grundgrößen in der Mathematik
Der „Objektive Geist“ wird durch die vier Größen E, I, G und N gebildet. Alle Bereiche und Wissenschaften sind Relationierungen jener vier Größen in deren unterschiedlichen Kombination und Zusammensetzung. Die voneinander getrennten Grundgrößen und die Fülle ihrer möglichen Relationen bestimmt einen großen Teil der Auseinandersetzungen in der Geschichte der Philosophie. Grundsätzlich gilt, dass alle Bereiche von den vier Größen geprägt sind. Aber es gibt je nach der Art des einzelwissenschaftlichen Bereiches unterschiedliche Schwerpunktsetzungen. Deshalb haben die vier Grundgrößen je nach dem Stand ihrer Entwicklung unterscheidbare konkrete Formen. So hat die Mathematik als konkrete Ausformung der allgemeinen I-Seite nur die nicht entwickelten Rw und Rz. Das sieht man zum Beispiel dort, wo die Mathematik als Topologie und Geometrie an die „Natur“ ankoppelt. Es sei daran erinnert, dass wir die Raumzeit als Relation der Rz mit den Rw darstellen. Als Mathematik liegt dann die Betonung auf den maximal entwickelten abstrakten N, G, E und auf dem R-Aspekt sowie allen möglichen Kombinationen daraus. Innerhalb anderer Einzelbereiche der Mathematik – zum Beispiel zwischen Mengenlehre und Funktionentheorie – kommt es, wie in allen Einzelwissenschaften, zu weiteren je verschiedenen Schwerpunktsetzungen unter den vier Grundgrößen.
Mathematik und R-Aspekt
Wir leiten die vier Grundgrößen von z,w her. Alle inhaltlichen Entwicklungs-Erscheinungen und auch alle natürlichen Vorgänge, Übergänge und deren Beschreibung durch die Methoden folgen aus den z,w, und das heißt, aus den S-Aspekten und aus den R-Aspekten. Die alleinige Erzeugung der Mathematik kann also nicht nur „idealistisch“durch E, N und G erklärt werden Denn die Erklärung vom „Objektiven Geist“ – N, G, E – her ist notwendig, aber nicht hinreichend. Von Anfang an wirken an der Entwicklung jeder Einzelphase alle anderen Phasen mit, also auch die S- und R-Aspekte; S aber nur in reduzierter Weise. In der Phase der Mathematik werden die beiden R-Aspekte deshalb an vielen Stellen wichtig, während zum Beispiel in der Phase der Subjektivität und der Gesellschaftlichkeit die R-Seite gänzlich unbedeutend bleibt, jedoch von den I- Funktionen abgelöst wird
So werden zum Beispiel die für die Mathematik wesentlichen Beziehungen „größer, kleiner“ von uns auf Rw und Rz zurückgeführt. Der „imaginäre“ Teil der Komplexen Zahl wird beispielsweise auch vom R-Aspekt bestimmt.
Mathematik und N,G
Der allgemeine Entwicklungsprozess ist speziell hier folgender. Der R-Aspekt hat einerseits den I-Charakter, aber dadurch, dass es zwei R-Arten gibt – Rw und Rz – kommt eine weitere Entwicklung hinzu, welche in die Dualität N,G mündet. Aus der Kompliziertheit dieses Entwicklungsvorganges – den ich hier nicht darstelle – folgt, dass Rz deshalb als „positiv“ gilt, weil Rz auf alles zugeht und Rw als „negativ“ gelten kann, weil es von allem weg weist. Dazu kommt, dass sowohl Rz wie Rw selbst auch Varianten des „Nichts“ ( N ) sind, wie sie auch in ein jeweiliges „Nichts“, in eine Leere gerichtet sein können. Zugleich streben beide nach Identitätsbildung ( G ), sei es indem sie sich erhalten, ihre Identität bewahren, wenn sie in jene je spezifische Unendlichkeit und Leere gerichtet sind, oder wenn sie mit anderen Grundgrößen Beziehungen aufnehmen. Was vor allem dann ihre Identitätserhaltung G erweist, wenn die Relationen z-z oder w-w sind. Zudem gilt, dass alle z – und alle w – völlig gleich ( G ) sind.
Wir unterscheiden die beiden Methodenarten N-G und N/G, zum Beispiel die Identifikationsmethoden und die dialektische Methode. Der Wert der Wahrheit der G-Methoden – wie zum Beispiel der empirischen Feststellung und der Deskription – ist die Identitätsbildung. „N-G“ soll ausdrücken, dass es für die Methodenarten G wesentlich ist, sich strikt von der Negation abzugrenzen, die Negation aber dennoch in jeder identifikatorischen Reflexion am Rande dabei ist.
Beide Methodenarten sind letztlich in einem gemeinsamen Feld des Überganges zueinander anzusiedeln, aber nichtsdestoweniger kann man sie auch unterscheiden. Das wird von uns als „N-G zu N/G“ dargestellt.
Die N-G-Methoden sind von „z,w“ her zu verstehen. Die isolierten N und G sind ebenso wie die z und w und daher die Rz und Rw Größen ohne endliche Begrenzungen. Das drückt sich in solchen „idealistischen“ Methoden wie der Empirie oder der klassischen Rationalität aus.
Es gibt dann zwei Arten von Methoden, die von Rz und G bestimmte und die von Rw und N bestimmte. Beide Male drücken sie Vorgänge aus, welche unbegrenzt sind. Ihnen stehen die z/w- und N/G-Relationen gegenüber. Sie sind begrenzt, weil ihre zwei Kraftarten sich in Wirkung und Richtung neutralisieren. Sie sind der methodische Kern der „Endlichkeit“.
Dieser Begriff von Endlichkeit erscheint in der Philosophie auf verschiedene Weisen, nämlich als statisches Gleichgewicht zwischen z und w, beziehungsweise zwischen N und G oder zwischen E und I, ( I/E ). Es herrscht in den drei Relationen jedes Mal entweder ein statisches oder ein dynamisches und als solches abstufbares Gleichgewicht zwischen den beiden Komponenten, welche zwar jede für sich von unbegrenzter Reichweite ist, jedoch immer wieder zur anderen Komponente orientiert wird.
Der Übergang der Relationen zwischen der totalen Statik und den völlig freien einzelnen z oder w, beziehungsweise zwischen I/E zu I-E und N/G zu N-G ist der von Endlichkeit zu Unendlichkeit. In den geistig–kulturellen Bereichen kann man die Formen der Endlichkeit und der Unendlichkeit voneinander trennen und auch aufeinander beziehen. In konkret-realen Bereichen der Natur – aber teilweise auch der Emotionalität – muss man von ihrer Untrennbarkeit ausgehen.
In den N/G-Methoden wird die unbegrenzte und gerichtete Dynamik von G und von N als doppelte unendliche Dynamik aufeinander bezogen. Das lässt diese Methoden begrifflich nur schwerlich verstehen. Die Hegelsche Dialektik als unbegrenzbares Wechselspiel von Identifikationsbewegung ( G ) und von Negation ( N ) sind das bekannteste Beispiel im abstrakt-geistigen Bereich.
Im Grunde sind die N-G-Methoden noch schwieriger verständlich zu machen. Das isolierte N sowie das isolierte G sind „ unendlich leer“; was bei N eher einleuchtet, aber bei G methodologisch folgenreicher ist. Auch das ist in den Eigenschaften von Rw und Rz begründet. Sie sind, wie gesagt, gleichfalls unendlich dynamisch, gerichtet und deshalb als „leer“ zu bezeichnen, weil sie als isolierte Größen keinerlei Formen von Endlichkeit bilden. Jede Darstellung von „Endlichkeit“ beruht auf Relationierungen, deren grundlegende z/w und Rw/Rz sind.
Bei dieser leeren Dynamik des isolierten N führt es sich selbst in ein unendlich oft wiederholbares „Nichts“. Die Dynamik des isolierten G führt ebenfalls unbegrenzt oft zu einer gleich bleibenden Identitätsgröße, E. Das ist bei N/G anders. Es hat die Eigenschaft, alle Formen der Endlichkeit zu bilden. Für uns ist es wichtig, diese Hegelschen Überlegungen und deren Erweiterungen in der Ersten Physik zur philosophischen Konstitution der Mathematik zu nutzen.
Das Modell „N-G zu N/G“ vereint die unbegrenzten Erweiterungsmöglichkeiten von N/G mit den genannten strengen Reduzierungen von N und G und von N-G. Das hat übrigens seine Wirkungen nicht nur als „Mathematik“, sondern auch bei logischen Implikationen.
Solche mehrfache Relationierung kann in Alltagssprachen nur in unklarer Weise formuliert werden. Man stößt bei Versuchen, diese wichtigen Überlegungen außerhalb der“dialektischen Logik“ oder hier außerhalb der Mathematik verständlich zu machen, dann auf Äußerungen wie die, dass die logische Seite ( N-G ) nur relativ zu einer unterstellten Gesamtheit von Ableitungsregeln verständlich würde. Und dass man Regeln zur Ableitung von Theoremen aus akzeptierten Feststellungen zu finden habe, die von einiger Plausibilität sind. Man sei aber wiederum keineswegs in irgend einer Art von Notwendigkeit an diese Regeln gebunden.
Aber das sind eigentlich Ausflüchte. Der systematische Mangel an der verlangten „Eindeutigkeit“ wird von den dynamischen Unendlichkeiten in den Modellen N/G und N-G und letztlich von Rz und Rw verursacht. Sie sind Tatsachen, über die aber keine akzeptablen Ableitungsregeln im endlichen Methoden- und Sprachbereich und keine vollständige oder abschließende Auskunft gegeben werden kann. Grundsätzlich wird hier aber von der fortgeschrittenen Denkarbeit verlangt,den Unendlichkeitsgedanken zu akzeptieren, indem dessen formale Leere mit den Phasen – zum Beispiel den z und w, R und S – und dem Entwicklungsgedanken inhaltlich verbunden wird. Ein traditionelles Beispiel ist die „Ewigkeit“ der Zeit, die von uns als Rw modelliert wird. – Eine Brücke zur alltagssprachlichen Darstellung der Mathematik kann über die „nach außen“ führenden N/G -Methoden – zum Beispiel durch die hermeneutische Methodik – geschlagen werden.
Dualität
Wie im Alltag und in allen Wissenschaften erscheinen die Kategorien auch in der Mathematik als Gegensatzpaare. Zum Beispiel „endlich-unendlich, Einheit-Null, die Inversität, „wahr-falsch“ etc. Wir modellieren das allgemein als N-G, aber auch als E-I und als die Trennung zwischen „E,I“ und „N,G“ .Dabei ist das G und das N als „N-G“ insofern extrem „abgesichert“, da es ebenso wie jene mathematischen Gegensatzpaare „an sich“ zu existieren scheint und als solches weder bewiesen noch widerlegt werden kann. Wie sollte man – im alltäglichen und im wissenschaftlichen Denken – die Existenz des Nichts ( N ) anders widerlegen als durch Stärkung des Identifikationsverfahrens ( G ), welches auf alles Existierende zielt – und umgekehrt. Für N/G gilt das Gegenteil. So ist beispielsweise die Wechselwirkung im Übergangsfeld zwischen Null und Eins von unbegrenzter Art, so dass weder ein Widerlegungsverfahren noch ein Beweis abschließbar ist.
Die beiden Positionen N-G und N/G bestimmen in ihrer Wechselwirkung die Eigenschaften der Mathematik. In den schwierigen Details der mathematischen Einzelbereiche geht es dann eigentlich um das Übergangsfeld zwischen diesen beiden Methodenarten – Trennung der N von den G und beider Bezug, N/G – sowie ihrer Beziehung zu den physikalischen R-Aspekten. Das aber ist wiederum ein Großteil der allgemeinen Entwicklung von der Ersten Physik an (hier als Rz und Rw) bis zum Objektiven Geist, welcher in der Mathematik durch die isolierten G, N und E vertreten ist.
Die begriffliche Komplexität der modernen Mathematik hat einerseits den Komplexitätsgrad der Materie- Erscheinungen, andererseits auch ein zu erfüllendes, zu erforschendes und darzustellendes „Maximum“ an systematischer Komplexität aller objektiven Denkmöglichkeiten.
Die philosophische Analyse der Mathematik zeigt, dass es in ihr die drei Relationen als Trennungen und Beziehungen der Grundgrößen G, E, N gibt. sowie als Relation der Relationen, das für die Mathematik wichtige „N-G zu N/G“. Es gibt aber zugleich die „Aufhebung“ jeder dieser Relationen. Das erscheint als eine Erweiterung der Hegelschen Systematik in der Anwendung auf die Einzelwissenschaften, wird aber von uns weitergehend von der dualen Quantenphasik hergeleitet; von den getrennten z und w sowie von deren maximal enger Bezogenheit aufeinander in der unbegrenzten Vielfalt der z/w-Beziehungen.
Auch das zeigt, wie die Mathematik an die Physikalität gebunden ist. Dem physikalischen S-Aspekt entspricht in den höheren Entwicklungsphasen das E und dem R-Aspekt entspricht die I-Seite. Die Anfangssituation dreifacher Dualität – S,R, z,w und z,w zu z/w – übt einen gewissen „Zwang“ objektiver Art auf die Grundstruktur der Mathematik aus, beispielsweise auf die Dualitäten dort. Und umgekehrt kann die physikalische Natur schließlich nur auf mathematische Weise erklärt werden.
Zwischen Erster Physik und der Mathematik liegen die dualen Entwicklungsprozesse und Strukturen der Einzelwissenschaften. Erst mit der Aufhebung aller dieser Dualitäten im Objektiven Geist wird die philosophische Sicht abgeschlossen
In der Entwicklungsphase der Mathematik und dann vollends in der Phase des „Objektiven Geistes“, das heißt der E, I, N, G , ergibt sich analog zur Situation in der Ersten Physik, dass man einerseits die vier Größen kaum unterscheiden kann, andererseits diese Trennungen aber leisten muss. So hat die Zielfunktion ( I ), ebenso N und G sicherlich auch Existenz ( E ), obwohl die Begriffe inhaltlich völlig getrennt sind, und als Isolierte sind sie alle vier Nichts ( N ). Die vier Grundbegriffe können sich derart nur zum Teil selbst und einander „erklären“. Ein Erklären wird erst vollständig, wenn alle anderen Phasen, vor allem z,w, einbezogen werden. Besonders in der Mathematik wird das Wechselspiel von strikter Trennung und Beziehungsbildung möglich und notwendig.
Die Entwicklung der Dualitäten läuft von der maximal engen Relation zwischen S und R sowie zwischen Rz und Rw zu beider Trennungen sowie weiter zu N und G und zur N/G-Relationsmöglichkeit. Die „reinen“, isolierten N und G, wie sie im Objektiven Geist konstitutiv sind, haben in der Entwicklung, also im Übergang von Rz, Rw zu G und N , methodische Vorformen, wie zum Beispiel die einzelnen Verfahren der empirischen Identifikation, beispielsweise die Annahme, dass Wahrnehmung und Wahrgenommenes irgendwie gleich sind. In dieser komplizierten Wechselwirkung zwischen allen Beteiligten erfolgt die Umwandlung in N und G also nicht in direkter Weise, sondern über die verschiedenen Verfahren menschlichen Wahrnehmens, Handelns und Arbeitens. Diese Umwandlung, die Übergänge zwischen den Phasen sind auch die Grundlage für die Ausdifferenzierung in die Vielfalt der mathematischen Größen, Kalküle etc.
Die Möglichkeiten, die sich aus diesem Ansatz für eine philosophisch grundlegende Analyse der Mathematik ergeben, versuchen wir in dem verschachtelten Dualitäts-Modell „N-G zu N/G“ darzustellen. Das sind drei Ebenen der Bildung und Aufhebung von Dualitäten: G als die Herstellung von Identität und „Endlichkeit“ und N als das isolierte, selbständige Nichts. Dann die Beziehung zwischen G und dem „Andere zu G“; nämlich dessen „Verneinung“ ( N ), also „N-G“. Schließlich „N-G“ und das Andere zu diesem, dem N/G-Verhältnis. Es eröffnen sich zunächst und grundlegend dabei die Begriffe der „Endlichkeit“ als Identitätsbildung ( G ), des „Nichts“. und auch die Unendlichkeit erscheint in der unbegrenzten Wechselwirkung in der Relation N/G zwischen N und G. Wie mehrfach gesagt, Mathematik zeichnet sich dadurch aus, sowohl die N-G-Methoden wie die N/G-Methoden und schließlich auch die „N-G zu N/G“-Methodik zu verwenden.
Die N/G-Relation hat die Eigenschaft, Verbindungen herzustellen, auch zu konkreteren Methoden und Größen, zum Beispiel zum Rw- und Rz-Aspekt. Die Herkunft der N,G aus den Rz und Rw bewirkt, dass die N,G in allen wissenschaftlichen Bereichen als Methoden einsetzbar sind; und auch, dass diese Wissenschaften mathematisierbar sind.
Nicht nur im Übergang von den konkreten Bereichen und ihren Verfahren, sondern auch innerhalb des „geistigen Großbereiches“ unterliegen die N und G einer Entwicklung. Zum Beispiel ist die Übereinstimmung von Sachverhalt-Sätzen und objektiver Realität seit Aristoteles als empirische Gleichsetzung ein etwas anderes Bestimmungsverfahren als die Geichsetzungsleistung des denkenden Verstandes, welche im logischen oder im mathematischen Zentrum steht.
Man kann alle Denkmethoden auf Relationen von G und N reduzieren. So ist beispielsweise der Kern von methodischer Dialektik und auch der der Hermeneutik durch N/G modellierbar. Für die klassische Logik wird N-G wichtig. In der Mathematik ist nun die Relation „N-G zu N/G“ ein Bereich des Denkens, in welchem die Kombinationen der Identifikation ( G ) von Größen mit deren Negationsmöglichkeit ( N ) eine unbegrenzte Relationierung haben können.
Diese komplexen Relationierungen sind neben den „Dualitäten“ und den Unendlichkeiten die eigentlich problematischen mathematischen Phänomene. Sie können im Bereich des Objektiven Geistes philosophisch verallgemeinert und im Bereich der Ersten Physik fundiert werden.
Mathematik und E
Die allgemeine Entwicklung von den z,w der Ersten Physik führt über die Strukturen der Mathematik zum „Objektiven Geist“ mit dessen absoluten E, I, G und N. Die innere Struktur der E-Seite verändert sich hierbei von der Erzeugung singulärer zur Bildung genereller Urteile.
Dabei bereitet das Alltagsdenken – das auch als eine Entwicklungsphase anzusehen ist – die Mathematik vor, indem auf „verständige“ Weise abstrahiert und das „Unwesentliche“ weggelassen wird. Was aber ist hier das „Wesentliche“? Im allgemeinen sind es die Eigenschaften der Wiederholbarkeit. Wie in allen Wissenschaften werden in der Mathematik vor allem Begriffe wie „Existenz“ und „Wahrheit“ oft gebraucht und gelten als wesentlich. Das verweist auf E und G. Die Gewinnung von generellen Existenzaussagen ( E ) durch den Gebrauch von Identifikationsmethoden ( G ) gehört zum Kern der Mathematik. Dabei wird das Ziel ( I ) der G-Verfahren zum „E“. Als selbständige Größe wird also I ausgeschlossen.
Wie auf vielen wissenschaftlichen und philosophischen Gebieten, so ist auch in der Mathematik die Dualität sowie die Entgegensetzung von Prozessen ( N/G ) und Strukturen ( E ) wichtig und problematisch. Es zeigt sich, diese allgemeine duale Alternative zwischen Prozessen, Tun, effektiv realisierbarem Handeln, Konstruieren einerseits und gegebenen gegenständlichen Objekten andererseits kann – als Gegensatz von N/G zu E modelliert – viele Gebiete in der Mathematik bestimmen, zum Beispiel als „Kalküle“ und als „Zahlen“.
Was unterscheidet die mathematischen E, wie es zum Beispiel die Zahlen oder der Mengenbegriff sind, von den E in anderen Bereichen, von konkreten Gegenständen beispielsweise? Alle Wechselwirkungen mit der Umwelt, insbesondere die mit dem Menschen, sind im Verlaufe des Entwicklungsvorganges in der Mathematik auf ein Minimum reduziert worden. Die E sind dann nur noch von abstrakten N-G bestimmt. Das bedeutet, die E werden nur als mit sich Identische und als Gegenpol zum Nichtsein, zum Nichts ( N ) verständlich. Diese maximal abstrakte Identifizierbarkeit ist ein Grund, warum man Mathematisches – Zahlen, Mengen – nicht „beobachten“ kann. Aber das heißt nicht, dass diese E-Varianten – hier beispielsweise die Zahlen Null und Eins – nicht „existierten“. Sie haben eben jenen Extrem-Status, den wir als „Objektiven Geist“ – N und E – bezeichnen und der auch deshalb „objektiv“ genannt werden muss, weil die denkbare Veränderung von Null, N und Eins, E prinzipiell fehlt. Die dazu notwendigen Verfahren, wie die Wechselwirkung mit der Umwelt, sind im Laufe der Entwicklung eliminiert worden. Das Fehlen solcher Relationen, Bindungen erlaubt eine totale Freiheit und Beweglichkeit solcher abstrakten E-Existenzen wie Null und Eins in mathematischen Verfahren
Wie in unserer Erklärung der Dualitäten sind auch diese Eigenschaften unverbunden, daher zwar dynamisch, aber wirkungslos und unveränderlich, nur mit sich selbst identisch, weswegen sie zugleich „nichts“ sind. Das kann allein von der philosophischen Interpretation der Quantenphysik – also von „z,w“ – verständlich gemacht werden. Denn die z sind von den w in der „z,w- Phase“ radikal getrennt, mit den beschriebenen Auswirkungen.
Die E-Identität wird durch die E-Entwicklung ergänzt. Beides spielt in der Mathematik eine große Rolle. Die Natürlichen Zahlen sind exakte E-Identitäten und der Verlauf der Natürlichen Zahlen ist eine Variante der E-Entwicklung, nämlich ein ununterbrochenes, wenn auch nur „quantitatives“ Anwachsen. An diesem Beispiel kann man zeigen, inwieweit sich die E-Seite in der Mathematik von den E im Alltagsdenken und in der Natur unterscheiden. Diese Unterscheidung ist keineswegs unsystematisch. Die „Existenzen“ im Alltag und in der Natur sind stets I/E-Gebilde Die menschliche „Erfahrung“ und die Natur kennen keine exakten Identitäten ( E ) wie es zum Beispiel die Natürlichen und die Ganzen Zahlen sind.
Die allgemeine E-Entwicklung zielt auf die Bildung eines En, eines Ganzen von endlichem, abgeschlossenen Charakter. Die mathematische Variante der E-Entwicklung eröffnet dagegen die Unendlichkeit, zum Beispiel die der Natürlichen Zahlen. Das ist ebenfalls eine Folge der nicht mehr vorhandenen Bindungen wie sie in I/E-Relationierungen noch vorliegen.
Auch die Entwicklung der Zahlenarten führt von der Quantenphase z,w zu den Trennungen: Allgemein zur Trennung der N-G-Methoden untereinander und speziell in der Mathematik zur Trennung der Methoden, nämlich der Kalküle, welche als Relationen die Zahlen verbinden, von den Zahlen selbst. Im Entwicklungsablauf von den Komplexen Zahlen, welche der Natur am nächsten stehen, über die Reellen Zahlen und die Rationalen Zahlen zu den Ganzen und Natürlichen Zahlen, werden die Zahlungsarten voneinander abgetrennt. Diese Entwicklung führt von der Natur weg, genauer, von der Ersten Physik und hin zum Objektiven Geist. Sie lässt letztlich das reine, isolierte E als die Natürliche Zahl entstehen, bar jeder Relation, während die Reellen Zahlen miteinander in unendlicher Dichte verbunden sind. Die Relationierungen zwischen den Zahlen, die Kalküle, werden in dieser Entwicklung abgetrennt und stehen gerade deshalb der beliebigen Verbindung mit den Zahlen frei zur Verfügung. Diese Entwicklung kulminiert im Objektiven Geist, wo die Grundgrößen – E, G, N – strikt voneinander isoliert und dadurch so frei werden, dass in einer weiteren Phase der Entwicklung die beliebige Kombination dieser getrennten Grundgrößen möglich wird. Diese „dialektische“ Erscheinung ist nur deshalb widerspruchsfrei, weil sie auf dem Verhältnis der N-G zu den N/G beruht und dieses wiederum von dem Zusammenwirken der strikt getrennten z von den w in „z,w“ zu den unendlich eng aufeinander bezogenen beiden in z/w begründet wird.
Als Beispiel für das Verhältnis der Zahlen zu den Kalkülen, als die „Anwendung“ der E, N/G und des R-Aspektes sei das Additionskalkül genannt: Die Zahlen a, b, c seien drei Konkretisierungen von E. In der Addition a & b = c spielt Rw deshalb eine Rolle, weil durch das Additionsverfahren, also durch das Pluszeichen „&“, eine „Erweiterung“ stattfindet. N/G bedeutet, dass beide Seiten der Gleichung gleichartig ( G ) sind und zugleich auch nicht gleichartig sind ( N ). N/G ist weiterhin jene dynamische Methode, welche den Unterschied der beiden Seiten der Gleichung ausmacht, nämlich das eigentliche Additionsverfahren.
In unserer philosophischen allgemeinen Modellierung steht die dynamische Bewegung von einem Ausgangs–E mit Hilfe von N/G-Methoden zu einem angesteuerten Ziel ( I ), als E—N,G—I , im Vordergrund. Das wird hier zu E1 – N,G – E2 = E3 verkürzt, denn in der Addition ist I zugunsten von E eliminiert. Das Ziel des von N,G verursachten Ablaufs ist E3.
Der Additionsvorgang wird als doppelt unendliche Wechselwirkung gesehen und als „N/G“ modelliert. Das drückt aus, dass nur dann etwas Neues entstehen kann, wenn E1 und E2 etwas Gemeinsames ( G ) haben und zugleich dennoch E1 und E2 verschiedene sind ( N ). Dies „zugleich“ meint eigentlich eine unendliche Wechselbeziehung zwischen G und N, in deren Verlauf die Unterschiede zwischen beiden Seiten der Additionsgleichung aufgehoben werden.
Sprachen, Methoden und Mathematik
Wie sind die Unterschiede zwischen Alltagssprache und Mathematik zu beurteilen? Beide müssen als Sprachen gelten, aber die Alltagssprache hat die Tendenz, die Welt durch E, N,G und I zu erfassen, während die Mathematik sich damit begnügt, nur E,N,G und Rz,Rw einzusetzen. Mathematik kann also andere Sprach-Arten nicht völlig ersetzen. Hier wird erneut deutlich, was auch von den Alltagsansprüchen moniert wird, dass die Mathematik keine Verbindungen mehr zur inhaltlichen Anschaulichkeit hat. Diese ist nämlich eine I/E-Relation.
Auch das philosophische Gesamtsystem, das alle diese Kategorien und dazu noch die S-Aspekte umfassen muss, kann deshalb durch eine Mathematisierung der Erkenntnis nicht ersetzt werden. Obwohl die Mathematik den Anspruch hat, über alle Grenzen zu gehen, alle Einzelwissenschaften zu vereinheitlichen, ihren Zusammenhang herzustellen, kann sie die Philosophie und Teile der Einzelwissenschaften sowie des Alltagsdenkens nicht ersetzen, weil ihr die I und die S-Aspekte fehlen.
Alle methodischen Hauptverfahren des Denkens, wie die Logik, die Dialektik und auch die Mathematik, unterscheiden sich von der Alltagssprache durch eine tendenzielle Reduzierung der I-Seite. Diese bloße „Tendenz“ meint, dass es neben der klassischen Logik viele Arten logischer Konzepte gibt, welche einen Übergang zur „Inhaltlichkeit“ und das heißt zu I und zu I/E zu konzipieren suchen; zum Beispiel die „Logik der Werte“. Für die Dialektik und die Mathematik und insbesondere für die Hermeneutik gibt es ebenfalls Versuche, Übergänge dieser Art zu finden.
Die Auftrennung der relativ engen „inhaltlichen“ „N/G zu I/E“-Verhältnisse stellt für die Alltagssprache bereits die Linguistik fest, wenn sie Semantik von Syntax unterscheidet. Die Syntax als Wissenschaft von der Grammatik stützt sich auf E-Strukturen sowie auf N und G. Sie gehört in die Reihe der Methodik, welche die Logiken, die Dialektik, alle Bereiche der Mathematik und im Detail auch alle anderen Methoden der Wissenschaften umfasst. Die semantische Seite der Sprache befasst sich mit den I und E, der I/E-Inhaltlichkeit.
Syntax, Logik und Mathematik unterscheiden sich selbstverständlich, aber sie haben auf einer sie umfassenden philosophischen Metaebene eben auch Verbindendes. Sie lassen sich nicht vollständig aufeinander beziehen, weil jedes von ihnen noch Verbindungen zu ihren eigenen Bereichsinhalten, also zu den je spezifischen konkreten I/E hat. Deshalb sind Versuche der Reduktion eines dieser methodischen Gebiete auf ein anderes nie so ganz überzeugend.
Methoden wie die klassische Logik, das rationale Alltagsdenken oder die „niedere“ Mathematik basieren auf N-G, E. Das heißt, für sie stehen endliche Größen (E) ebenso im Mittelpunkt wie die Identitätsbildung, die Äquivalenzrelation (G) sowie die Möglichkeit der Negationsbildung (N). Auf „N-G“ beruht zum Beispiel der Gegensatz von „wahr und falsch“ Das mathematische Wahrheitsproblem enthält jenes der zweiwertigen Logik, ist aber damit nicht hinreichend erklärt. Denn das, worauf die Mathematik auch angewandt werden kann, die physikalische Natur, ist nicht allein mit N-G und E zu erfassen. Da spielen zum Beispiel auch „Unendlichkeiten“ eine entscheidende Rolle. In „Sprachen“, wie die klassische Logik, erscheint die I-Seite nur als quasi-ethische „Urteile“, als „wahr“/“falsch“ oder als „positiv/negativ“.Solche Existenzbestimmungen sind dort allerdings nur noch der äußerste Rest der I-Seite. Die allgemeinen Existenzurteile sind jedoch I/E-Relationen. Sie verkürzen sich also im logischen, rationalen Denken zu E-Varianten, beispielsweise als das „Einzelne“ oder das „Ganze“.
Die Weiterentwicklung dieser N-G-Methoden bestand nun nicht nur darin, auch I und I/E zu berücksichtigen – zum Beispiel sprachliche Prädikationen zu analysieren – sondern vor allem auch darin, neben solcher systematischen Hereinnahme des Inhaltlichen ins Formale, die Relationen selbst zu untersuchen: Die Relation zwischen N und G in der strikten Trennung ( N-G ) hatte Hegel kritisiert und als Dialektik ( N/G ) neu gefasst.:Die Beschreibung der Relation, welche zwischen N und G vermittelt, ist denkbar, hat Existenz und Bestand (also G) und zugleich wird von ihr in „N-G“ behauptet, dass es keine Relation gibt, eine solche „nicht“ ist ( N ) . Diese Art der Erklärung lässt sich unbegrenzt fortsetzen. Es ist damit ein unendlich leerer Selbstbezug von der N-G-Art. Aber es hat eben auch die simple Möglichkeit, das Gleichsetzungsverfahren, also G-Methoden, oder die einfache Negation ( N ) völlig unabhängig von jener unendlichen Reflexion zu nutzen.
Das N/G-Modell dagegen bedeutet, dass diese zwei dynamischen Größen G und N unendlich oft aufeinander bezogen werden können. G ist nicht N und N ist nicht G etc. In diesem Begründungsverfahren als Bezugsbildung.durch die Negation der Negation besteht nicht nur die dialektische Methode. Jede Art von komplexeren Relationen und Ausdrucksverknüpfungen wie sogar die „logischen Operatoren“ – „und“, „oder“ etc – können ebenso wie die Kalküle, zum Beispiel dem Additionsverfahren, durch N/G dargestellt werden. N/G ist eigentlich die „verselbständigte“ Verknüpfungs-Methode und kann daher dazu benutzt werden, jede beliebige Größe mit anderen Größen oder mit ihrer Umwelt zu verbinden.
Die Behauptung, dass Dialektik dort einsetzt, wo die Mathematik aufhört, ist so nicht richtig. Wir ordnen der klassischen Mathematik und Logik das Modell N-G zu, der Dialektik, das heißt, der „allgemeinen Logik“ Hegels das N/G-Modell und der modernen Mathematik das „N-G zu N/G“.-Modell
Es stehen sich in der N/G- Relation in abstrakter hegelscher Weise die eine unendlich leere Identität bildende Dynamik von G dem gleichfalls unendlich offenen, aber leeren Vorgang der Nichtidentität „bildenden“ N in nicht endender Wechselwirkung gegenüber. Und diesen stehen jene beiden Größen als Nichtrelationierte, N-G, gegenüber. Diese nicht leicht einsehbare Lage findet ihren Sinn in ihrer Herkunft aus der Quantenphysik sowie in der Analyse ihrer Anwendungen.
So interessant die philosophiegeschichtliche Ergänzung der klassischen N-G-Denkweise durch das philosophische Projekt der Dialektik, dem N/G-Modell, war, beide N-G und N/G sowie der Übergang zwischen beiden sind in den zwei Quantenphasen z,w und z/w in objektiver Weise angelegt und führen deshalb als Kombination beider in den Phasen der Einzelwissenschaften weiter.
Die allgemeine Entwicklung im Bereich der einzelnen Wissenschaften und Sprachen läuft als Reduktion von sprachlich-inhaltlichen Prädikatoren über die Entwicklung der logischen Operatoren und Hilfsgrößen zur formalen Dialektik und schließlich zur maximalen Reduktion, zu N-G,E. Die klassische Logik – aber zum Beispiel auch die „analytische Wissenschaftstheorie“ – gehen bei diesen Entwicklungsschritten von der Abtrennung des I-Bereiches aus. Wie erwähnt, spielt der R-Aspekt in der höheren Logik und Mathematik eine Rolle, die.Entwicklungsformen von R, die als subjektive I erscheinen, werden in der Mathematik jedoch nicht verwendet.
Bei dieser Entwicklung von den Alltagssprachen über die Mathematik bis zu den abstrakten N-G- und N/G-Methoden, geht es für den Menschen darum, seine I-Fähigkeiten zu verleugnen. Derartige Anstrengungen erschweren – wie auch bereits erwähnt – das Verständnis von Logiken und der Mathematik.
Jede dieser „Sprachen“ und Methoden ist im Grunde als E/I/N/G-Komplex zu analysieren, aber die I sind in den entsprechenden Phasen gesellschaftlicher und subjektiver Art, aber in der Mathematik sind die Zielsetzungen ( I ) nur versteckt in benachbarten Bereichen und Wissenschaften, zum Beispiel als die implizite „Absicht“, aus der Additionsbeziehung der Summanden ein „Ergebnis“ zu machen. Genauer gesagt, Kalküle, wie die Addition, unterscheiden sich von alltagssprachlichen Methoden oder auch von denen der „Arbeit“ nur dadurch, dass die in ihnen steckenden I verschieden entwickelt sind. Ähnliches gilt für die Unterscheidung der verschieden entwickelten E,G und N.
Obwohl in jeder Entwicklungsphase – also sowohl in konkreter Arbeit, in empirischem Forschen oder in der Mathematik – alle vier Grundgrößen vorhanden sind, kann man doch zwei Hauptbereiche unterscheiden: Der eine wird tendenziell und überwiegend von E und N-G bestimmt und der andere von I, I/E und N/G. Darüber hinaus aber ist es wichtig, dass im „Konkreten“ alle vier – wiederum auf Grund dieser anfänglichen, ursprünglichen Bezogenheiten in „z,w“ – auf verschiedene Weise relationieren, zum Beispiel „N-G zu N/G“ oder zum Beispiel „I-E zu I/E“
Es gibt übrigens einen objektiven materiellen Grund für diese Auftrennung, ebenso für die Entwicklung sowie für die Eliminierung der I-Seite. Während der Entwicklung wird I durch die schrittweise Abschwächung der S-Aspekte verändert. Das wirkt sich auch auf E und auf N,G und dadurch auf die Methodik aus Die Mathematik liegt irgendwo in diesem Entwicklungsablauf zwischen den Polen des Objektiven Geistes (I,E,G,N) und dem Pol der Ersten Physik In der Entwicklung von den konkreten, natürlichen arbeitsmäßigen Prozessen,Verläufen über die Methoden, wie die empirische, zu den streng rationalen idealen-mathematischen Methodenarten wird der S-Aspekt tendenziell abgeschwächt, er geht schrittweise verloren. Dabei werden die R-Aspekte freigesetzt.
Es ist unsere philosophische Strategie, die Entwicklung der Mathematik sowohl „von unten“, das heißt aus der Ersten Physik ( S, R ) und zugleich „von oben“, vom „Objektiven Geist“ hergeleitet zu zeigen, und zwar aus einer beide „metaphysischen“ Pole verbindenden Systematik. Anders gesagt, die Mathematik ist nicht in eins zu setzen mit dem Objektiven Geist, sie hält über den R-Aspekt noch die Verbindung zur Physik.
Es gilt nun, diese methodischen Weiterentwicklungen konkret innerhalb der Mathematik aufzuzeigen. Das heißt, Mathematik als die Prozesse N-G und N/G zu erfassen. Das sind Prozesse, welche die E – zum Beispiel als Einheiten und Zahlen – erzeugen. Diese E können nicht mehr als „gegeben“ angenommen werden. Die philosophische Untersuchung hat vielmehr die Aufgabe, die Genese dieser „vorgegebenen Tatsachen“ zu klären.
Die Entwicklung von den N-G-Methoden zu den „N-G zu N/G“-Relationen betrifft nicht nur die Mathematik. An diesen methodischen Entwicklungen sind alle formalen Sprachen beteiligt, die Logik und die Alltagssprachen mit ihrer jeweiligen Syntax. So entwickelt sich die moderne Logik aus der klassischen Logik parallel zur Entwicklung der höheren aus der niederen Mathematik
Das kann als ein einheitlicher philosophischer Prozess verstanden werden. In diesem hängen die mathematischen Methoden mit anderen Sprachmethoden zusammen. Sie alle entstehen in den Übergangsfeldern der Entwicklung von S und R zu N und G. Also aus „Naturrelationen“ zwischen und in den Dingen. Diese Relationen in der Dingwelt sind als Vorläufer der Methodik anzusehen. Sie werden zu den reinen G und N sowie zu deren Relationen im rationalen Denken und in der Mathematik. Es verbleiben dabei allerdings „Reste“ des Naturzusammenhanges. Der R-Aspekt, der in der Mathematik wichtig wird und der abgeschwächte Sw-Aspekt, welcher zum Beispiel als elektrodynamische Basis das menschliche Sehen ermöglicht.
Diese elektrodynamische Verbindung zwischen Auge und Dingwelt ist also noch eine Relation innerhalb eines Naturzusammenhanges. Die empirische Methode hat dann zwar die Identifikation, Gleichsetzung ( G ) als ihren zentralen Prozess, aber „Reste“ von beobachtetem Objekt und beobachtendem Subjekt begleiten – auch als physikalische Erscheinungen – den empirischen Vorgang. Als derart letzter Zusammenhang zwischen Natur und Denken wird deshalb die empirische Methode für die meisten Einzelwissenschaften und für das Alltagswissen so wichtig.
Aber die allgemeine Entwicklung geht noch einige Schritte weiter.
Die mathematischen Methoden und der Objektive Geist setzen eine weitere Abschwächung des S-Aspektes und damit der Trennung von Naturzusammenhängen voraus. Es geht um eine weitere Veränderung der genannten Relationen. In den „rationalen“ Methoden sind die Verbindungen zwischen Denken und Gedachtem dann nur noch als Identifikationsrelation ( G ) oder als Negationsrelation ( N ) zu verstehen.
Es geht aber nicht nur um die inhaltlichen Seiten der Natur. Von z und w führt bis zu E und I diese allgemeine Entwicklung durch alle Bereiche der Realität und damit durch alle Wissenschaften. Deren prädikative Verhältnisse, inhaltliche Gegenstände und Prozesse, das heißt die E und I und deren Relationen, werden von der Mathematik allerdings nicht erfasst, jedenfalls nicht unmittelbar.
Mathematik und Unendlichkeit
Ausgangspunkt für uns ist jetzt Rz und Rw. Von diesen beziehen wir die Grundlagen des Unendlichkeitsprojekts. So beispielsweise auch die Unterscheidung zur Endlichkeit, bei der sich Rz und Rw im Gleichgewicht ihrer entgegengesetzten Richtungsarten halten ( Rw/Rz ) sowie die Unterscheidungen der verschiedenen Arten der Unendlichkeit. Einerseits Rz als unendliche Tendenz der Annäherung an das Nichts, welches mathematisch als „Null“ bezeichnet wird und andererseits Rw als das unbegrenzte Streben in die „Weite“.
Weiterhin wird von den entwickelten Rw und Rz die Unendlichkeitsvorstellung in den Geistesbereichen bestimmt. So die „leere“ Unendlichkeit, die zum Beispiel als Isolierung der Grundgröße E von allen anderen Größen denknotwendig ist. Diese Art der Unendlichkeit zeigt sich auch in der „freien“ subjektiven Kreativität von E und I, also in der unbegrenzten Erschaffung von virtuellen Existenzen sowie in der kreativen Phantasie bei der Zielerzeugung.
Im traditionellen mathematischen Problem der Dualität von potentieller und aktualer Unendlichkeit greifen wir zurück auf die Entwicklung der zwei R-Aspekte hin zu N und G. Das wird von uns dann in Verbindung mit den beiden Entwicklungsphasen des subjektiven und des Objektiven Geistes gebracht sowie mit den beiden Methodenarten N-G und N/G.
Die Mathematikstruktur kann auch als Verhältnis von Unendlichkeit und Endlichkeit verstanden werden. Sie ist zugleich die Aufhebung dieses Gegensatzes. Am wichtigsten sind für die Erfassung und Fundierung der mathematischen Seiten der Unendlichkeit und der Endlichkeit eben diese beiden Methodenarten und ihr Verhältnis, „N-G zu N/G“. Im Methodenstreit zwischen konstruktivistischer und deskriptiver Auffassung und im Streit um potentielle und aktuale Unendlichkeit werden diese Auseinandersetzungen noch in herkömmlicher Weise geführt. Wir stützen uns dagegen auf die Dualitäten N-G und N/G und auf die hinter ihnen stehenden R-Aspekte von z,w und „z,w zu z/w.“
Die für das philosophische Alltagsdenken und für die Mathematik wichtigen Begriffe Endlichkeit und Unendlichkeit sind damit auch unmittelbar an die physikalische Natur gebunden. Die formale Beschreibung von Rw besteht darin, dass es eine Richtung ist, die unbegrenzt „in die Weite“ weist; und für Rz gilt die unbegrenzte Richtung „in die Tiefe“. Damit sind zwei Arten von Unendlichkeit begründbar, welche wichtige Grundlage für mannigfache Erscheinungen sowohl in der Physik als auch in der Mathematik sind. In der Physik kann beispielsweise der Verlauf der Zeit und der Lichtausbreitung formal auf Rw reduziert werden und Rz kann die Richtung der Gravitation, der Massenanziehung, modellieren.
Die Endlichkeit dagegen ist physikalisch dadurch begründet, dass in der Relation der beiden Richtungsarten zueinander ( Rz/Rw ) keine der beiden Richtungen zum Tragen kommen kann. Endlichkeit kann somit als die zweifache Verhinderung von Unendlichkeit verstanden werden. Genauer gesagt, ist die Relation Rz/Rw aber dennoch stets von zweifacher unbegrenzter, wenn auch „interner“ wechselwirkender gleichgewichtiger Dynamik.
Das führt zu der Erkenntnis, dass „Endlichkeit“ letztlich nur indirekt aus der Ersten Physik ableitbar ist, nämlich als Ergebnis der E-Entwicklung, die sich durch alle Phasen hindurch zieht. Das menschliche Reflexionsvermögen erzeugt zwar den Endlichkeitsbegriff, ist aber über die allgemeine Entwicklung als Reflexionsvermögen, wie alle nicht-physikalischen Vorstellungen von Endlichkeit, an die Entwicklungsphasen des z/w-Großbereichs gebunden.
Von uns wird Endlichkeit begrifflich als E- und G – Kategorie behandelt, obwohl wegen der internen doppelten unendlichen dynamischen Bewegungen in den z/w die traditionelle statische Vorstellung von Endlichkeit, wie E und G und auch N sie andeuten, eigentlich nicht sinnvoll sein kann. Das gilt für fast alle Entwicklungs-Phasen. Erst in der Entwicklungsphase des „Objektiven Geistes“ sind die E, I, N, G – Kategorien. als voneinander getrennte, isolierte deswegen „endliche“ zu verstehen, weil ihre tatsächliche Unendlichkeit von „unendlicher Leere“ ist.
Der z,w-Bereich – es ist die eine der beiden Quantenphasen – hat mit der Entwicklungsphase des „Objektiven Geistes“ gemein, dass auch dort keine Relationierungen, wie zum Beispiel z/w, stattfinden. Die einzelnen Rz und Rw, beziehungsweise die einzelnen z und w dürfen deshalb aber nicht als „endliche“ vorgestellt werden. Jede einzelne von ihnen hat in ihrer gerichteten Kraftfunktion zum Beispiel unbegrenzte Reichweite sowie neben diesem „räumlichen“ Aspekt noch „zeitliche“ Existenz-Ewigkeit. Die Schwierigkeit, das zu verstehen, besteht darin, dass diese Unendlichkeiten daher rühren, dass sowohl jene „Reichweiten“ wie die „Existenzfähigkeit“ vor-raumzeitlich ist. Man muss bedenken, dass Menschen stets alles im Raumzeit-Schema zu erfassen suchen, also auch die „z,w“-Phase, welche aber erst die Raumzeit im Rahmen der z/w-Großphase von sich aus konstituiert. Das Ergebnis solcher „Kreisschlüssigkeit“ ist letztlich die Konstitution der Denkkategorie „Endlichkeit“ „Unendlichkeit“ und auch der des „Nichts“.
In dieser Situation, in der bereits schon die Endlichkeit keineswegs einfach zu verstehen ist, treten also weitere Verständnisschwierigkeiten durch die Postulierung dieser zwei Quanten-Phasen hinzu, deren eine, die „z,w“-Phase, jenseits der endlichen, „physischen“ z/w-Relation liegt. Daher ist der Gegensatz endlich-unendlich sinnvoll nur in einer „inhaltlichen“ Perspektive zu erörtern
Diese Ausdifferenzierungen traditioneller philosophischer Begriffe auf Grund der notwendigen Berücksichtigung physikalischer Fundierung weisen auf mathematische Folgerungen für den Unendlichkeitsbegriff. Beispielsweise ist das Verhältnis „z,w zu z/w“ die Ursache und die Erklärung dafür, dass es in der Mathematik mehrere Unendlichkeitsarten gibt, was sich in den verschiedenen „Mächtigkeiten“der Unendlichkeit oder in der Unterscheidung in aktuale und potentielle Unendlichkeit, oder auch in der Unterscheidung in unendlich klein und unendlich groß zeigt. Das betrifft übrigens gleichfalls andere wissenschaftliche Bereiche sowie das Alltagsdenken.
Für die Mathematik ist die Übergangslage charakteristisch, welche Endlichkeit und Unendlichkeit enthält und verbindet. Die Natur gilt prinzipiell als endlich. Nicht endlich ist die Natur aber in ihren Grenzbezirken Das Unendliche erscheint in ihr dort, wo z oder w je allein wirken: Der S-Aspekt als potentiell unendlich weit reichende Kräfte und die R-Aspekte als unendliche Gerichtetheiten, die als elektromagnetische und gravitative Wirkung bekannt sind sowie als zeitlich ewige Erhaltung der z und w. Im Geistig-Abstrakten ist die Unendlichkeit seit jeher zu Hause. Man kann nun die herkömmlichen philosophischen Unendlichkeitsvorstellungen mit Hilfe der physikalischen S- und R-Aspekte mit den mathematischen Unendlichkeiten und Endlichkeiten verbinden.
Bevor wir uns ausführlicher mit den Unendlichkeiten im Zusammenhang mit den N und G in der Methodik beschäftigen, sei kurz auf die E und I eingegangen. Diese entwickeln sich ebenso wie die G und N aus den R- und S-Aspekten. Sie haben daher deren Unendlichkeitsseiten.
Man kann einerseits Unterschiede zwischen den inhaltlichen ( E, I ) und den methodischen ( G, N ) Phänomenen feststellen, andererseits auch zwischen den jeweils isolierten vier Grundgrößen und deren Relationen. Das bewirkt unterscheidbare Formen von Unendlichkeit.
Das menschliche Subjekt ist in der Lage, unabhängig von der E-Seite unendlich viele „freie“ I zu erzeugen, und ebenso kann es mit seiner Phantasie derart „isolierte“ E unbegrenzt imaginieren, beispielsweise literarische Gebilde oder einfach „Zahlen“.
Neben solchen „virtuellen“ Erscheinungen gibt es jedoch für die Menschen auch die Möglichkeit, unbegrenzt viele konkrete endliche E- und I/E- Produkte zu erzeugen. Die Unterscheidung in potentielle und aktuale Unendlichkeit wird sich auf jene vom Subjekt erzeugbaren abstrakten E, I und I/E stützen und darauf, dass der objektive – zum Beispiel mathematische – Entwicklungsprozess über jegliche Subjektivität hinausreicht.
Die Subjektivität und der Objektive Geist sind zwei unterschiedliche Entwicklungsphasen. Zwischen ihnen gibt es ein Übergangsfeld, in dem der subjektive und der Objektive Geist als Pole verstanden werden können. Die Mathematik hat als eine „Sprache“ die Position zwischen diesen beiden Polen. Der subjektive Geist erzeugt und versteht einerseits die Mathematik, aber andererseits steht er dieser auch fremd gegenüber. Solch ein Widerspruch kennzeichnet beispielsweise dies Feld des „unendlichen“ Übergangs. Der subjektiven Mühe der Erarbeitung der Mathematik in diesem Übergang steht bei Erfolg ein hoch wirksames Arbeitsinstrument, nämlich die mathematische Methodik, zur Verfügung. Wie aber kann das menschliche Subjekt die Mathematik – und dann sogar den Objektiven Geist – erzeugen und verstehen? Das geht nur, wenn in allen drei Phasen ein Gemeinsames vorhanden ist. Die subjektiven Fähigkeiten und die objektive mathematische Beschaffenheit sind zwei Entwicklungsphasen, welche Gemeinsamkeiten haben, also eine relative Einheit von Subjekt und Objekt bilden, aber sich zugleich spezifisch und systematisch von einander unterscheiden.
Wenn wir zurückkehren zur Unendlichkeitsproblematik, dann ist es nun so, dass jede der vier Grundgrößen des Objektiven Geistes – E, I, G, N – diese eine Art von Unendlichkeitscharakter annimmt, wenn sie von den anderen Grundgrößen getrennt ist. Im subjektiven Fühlen und Denken kann dann zum Beispiel die Phantasie sich alle möglichen Dinge, Ereignisse ( E ) und Ziele ( I ) imaginieren und zwar in dieser Art der Unbegrenztheit. So wie die voneinander getrennten E und I aber nicht konkret sind, sondern sie selbst leer sind und zwischen ihnen eine unendliche Leere ist, die eben jener Mangel an Relation ist, so verhält sich das auch bei N-G. Dieses Modell bedeutet die Nichtrelation zwischen den beiden, während das Modell N/G die enge und dynamische Relation der beiden aneinander gebundenen Größen ausdrücken soll, welche die Basis von Endlichkeit ist.
Für die Mathematik ist das I/E-Verhältnis – das alle Abläufe und Strukturen der Subjektivität kennzeichnet – unwichtig. Im Mittelpunkt steht hier vielmehr N und G und N/G. Dann wird von uns beispielsweise in der Diskussion, ob die Unendlichkeit als Gegensatz zur Endlichkeit zu fassen sei oder auch, ob im Gegensatz eines unendlichen Wechselwirkungsprozesses ( N/G ) gegenüber der Identifikation ( G ) eines Objekts, durch die beides umfassende Relation „N-G zu N/G“ vermittelt.
Die strikte Trennung der N von den G ist auf die getrennten z – w beziehungsweise Rz – Rw zurückzuführen. Dort weist Rw in eine unbegrenzte Weite und Rz ebenso unbegrenzt in die „Tiefe“. Diese leere aber unendliche Dynamik erscheint in N und G wieder. Es wird durch das isolierte N nicht mehr und nicht weniger als das Nichts ( N ) erzeugt und zwar als unbegrenzter Prozess. So wie es eine Erklärungsweise des Begriffes des Nichts gibt, die allein den Begriff der Negation dabei benutzt, gibt es eine Erklärung der Existenz, die nicht darum kommt, den Gedanken der Existenz dabei zu benutzen. Das heißt aber, die unendliche Dynamik der G erzeugt nichts weiter als die eigene Identität. Das isolierte G kann damit nur eine unendlich leere Annäherung an E sein, nämlich als das durch den unentwegten und in sich unveränderlichen Identifikationsvorgang Identifizierte E. Dadurch ist E auch unendlich getrennt von allem anderen. Das isolierte I weist dagegen in eine allgemeine unendliche „Weite“. Zwischen den getrennten I-E und N-G herrscht gleichfalls unendliche Leere.
Die Verbindungen, Relationen zwischen den vier Größen werden dagegen also nicht von den getrennten z-w, sondern von der quantentheoretischen z/w-Phase bewirkt. Die Sz/Sw und Rz/Rw sind der Urgrund für den Endlichkeitsbegriff, der als die Aufhebung der Isolierung von N – G als N/G als formale, beziehungsweise von I – E als I/E in inhaltlicher Wirkung erscheint. In den I/E entstehen die E aus den Sw und Sz und die I werden durch die Rz und Rw erzeugt. Wie in z/w neutralisieren sich die beiden entgegengesetzten dynamischen Prozesse in ihren verschiedenen Richtungen und in ihrer Bewegung.
Die doppelte unendliche Dynamik von N und G erzeugt eine Wechselwirkung in den N/G und die I entsprechend in den I/E, welche als Endlichkeitserzeugung gelten muss. Die Unendlichkeitsprozesse der sechs je isolierten Größen werden durch ihre Entgegensetzung nur im Grenzfall zu wirklich statischen Gebilden, zu engen Bezogenen und gleichgewichtigen z/w-, I/E-, und N/G – Relationen.
Es ist also so, dass in den „Objekten“ – E, I und I/E – und in den Methoden und Verfahren – N,G und N/G – beides Mal Endlichkeiten und Unendlichkeiten zugleich stecken. Der grundlagentheoretische Streit in der Mathematik, ob die Unendlichkeit „potentiell“ oder „aktual“ zu sehen sei, wird dadurch aufgehoben.
Potentielle und aktuale Unendlichkeit und die Endlichkeit
Der Streit um die potentielle und aktuale Fassung des Unendlichen ist eine wesentliche Erscheinung der Konstituierung mathematischen Erkennens. Wir erfassen beides und beider Verhältnis in der Relation „N-G zu N/G“. Mit diesem Modell können wir die Unendlichkeiten genauer verstehen. Bisherige philosophische Erklärungen, wie zum Beispiel die dialektische, werden in dieses mehrfach relationierte Modell integrierbar.
Wenn man die Aktualität der Unendlichkeit leugnet und nur die konstruierbare, die potentielle Unendlichkeit akzeptiert, dann verbleibt man letztlich in der „Endlichkeit“. Wir meinen aber, es gibt die drei Varianten, die man als endliches, gleichgewichtiges N/G-Verhältnis, potentiell unendliches Ungleichgewicht N/G und als offene aktual unendliche N und G bezeichnen kann. Die beiden letzteren Modelle berücksichtigen die Dynamik der N und G und zwar einmal als aufeinander gerichtete Dynamik und zum anderen als freie Dynamik, die ohne jeden Relationspartner zu denken ist. Hier ist daran zu erinnern, dass die methodischen Grundgrößen N und G ihre gerichtete Dynamik von den Rz und Rw erhalten haben. Nebenbei gesagt ist die ganze Entwicklung und Entfaltung ein erst im „Objektiven Geist“ abgeschlossener Übergang von den R-Aspekten zu N und G.
Mit solcher Modellierung wird das spezielle Problem des Verhältnisses von Endlichkeit und Unendlichkeit an die allgemeine philosophische Darstellung der „Mathematik“ als Relation „N-G zu N/G“ angeschlossen.
Weiterhin ist die Mathematik eingebettet in unsere umfassenden philosophischen Modellierungen. Dort gehen wir von zwei Situationen aus, der der „Existenz“ und der der „Entwicklung“. Zur Existenz im weitest möglichen Sinne gehört auch die Erste Physik – z,w S,R – sowie der Objektive Geist – E,I,G,N. Zur Entwicklungsdynamik zählt alles was sich zwischen diesen beiden Polen der Ersten Physik und des Objektiven Geistes abspielt. Den Bezug auf die beiden „existierenden“ Pole verbinde ich mit der aktualen Unendlichkeit der unrelationierten, freien Grundgrößen, den allgemeinen Entwicklungsablauf dagegen mit der potentiellen Unendlichkeit der aufeinander bezogenen Grundgrößen.
Diese Dualität von relativ Festem, Statischem und von dynamischen Prozessen durchzieht alle Philosophie und die Wissenschaften, hier die Mathematik, sowie die Alltagsvorstellung; vereinfacht und konkretisiert. zum Beispiel als Produktion und Produkt oder als Tat und Ding
In allen „mechanischen“ Wissenschaften, so auch in der „niederen“ Mathematik, herrscht die Tendenz, notwendige Eindeutigkeit dadurch zu gewinnen, dass man die Unendlichkeiten „versteckt“ oder dass man eindeutige Determinationen erreicht, indem man die Unendlichkeiten als Endlichkeiten interpretiert. Wichtig aber ist, dass in dem erwähnten Übergangsfeld die zwei Pole beides, Unendlichkeits- und Endlichkeitscharakter haben . Die getrennten I und E sind zwar „Einheiten“ für sich, aber unbegrenzbar in ihrer Funktion, und das Seiende ist als I/E in sich zweifach unendlich dynamisch und stets auch ein mögliches I/E-Gleichgewicht endlicher Art.
Die aktuale Unendlichkeit wird in den z und w, in ihren beiden R-Aspekten und den S-Aspekten „materiell“. Der Charakter der Rz und Rw als Richtungen ist also unendlich frei soweit sie in keine Relation Rz/Rw eingebunden sind.. Begrifflich wird das von mir als ungebundene, freie I beschrieben. Andererseits haben die R-Aspekte und die S-Aspekte den Existenzcharakter ( E ). als isolierte E. Diese Kombination von Unendlichkeit und Existenz in der Natur ist eine der Verbindungen zwischen Mathematik und Natur und der Begründungen der Mathematik in der Natur. Die Verbindung der Unendlichkeit in der Natur zu der mathematischen wird durch die Entwicklung der z,w zu den N, G, E hergestellt.
Die potentielle Unendlichkeit – zum Beispiel die Gewinnung der Natürlichen Zahlen durch den nicht endenden Additionsprozess – besteht darin, dass die unendlich dynamischen Abläufe – G und N – nicht mehr isoliert sind, sondern in Relationen zueinander ablaufen, als N/G. Beides sind existierende und unbegrenzte Abläufe. Sie unterscheiden sich also darin – wenn auch letztlich nur graduell – dass die aktuale Unendlichkeit von den jeweils isolierten Grundgrößen ausgeht und die potentielle Unendlichkeit von der natürlichen zweifachen Dynamik der aufeinander bezogenen Grundgrößen als R/S und z/w. Was wiederum begrifflich als I/E und hier als N/G darzustellen ist.
Die drei, die Endlichkeit, die potentielle und aktuale Unendlichkeit unterscheiden sich also und hängen zugleich zusammen. Das aber deshalb nur graduell, weil sie gemeinsam in einem Übergangsfeld liegen. Man kann daher nicht nur entweder die potentielle Fassung der Unendlichkeit oder die aktuale je allein gelten lassen. Die Übergänge zwischen ihnen sind in denen der Ersten Physik vorgegeben. Es ist der Übergang von „z,w“ zum Gleichgewicht z/w und der zu den aufeinander dynamisch bezogenen Ungleichgewichten vieler z und/oder vieler w . Im Begrifflichen erscheint das als der Übergang von den „existierenden“ aktualen Unendlichkeiten der isolierten kategorialen Größen E, I, N, G einerseits zu den endlichen gleichgewichtigen Relationen E/I, N/G etc sowie den dynamischen, potentiellen Relationen, deren unbegrenzte Richtung von der jeweiligen Zusammensetzung bestimmt wird. Denkschwierigkeiten ergeben sich vor allem aus der Tatsache, dass in der z,w – Quantenphase der Ersten Physik die z und w vor-raumzeitlich sind und daher zum Beispiel zeitlich und räumlich „zugleich“ sind und auch nicht sind. Auf die Denksituation im Begrifflichen übertragen bedeutet das, dass die Endlichkeit, Dynamik und Unendlichkeit ineinander übergehen, ohne dass es herkömmliche „rationale“, „verstehbare“ Gesetze dafür gibt.
Die Unendlichkeit kommt nicht nur „aktual“ zum Ausdruck, sondern auch in den zu „konstruierenden“ Prozessen und den dadurch explizierten Potentialitäten. Von der Ersten Physik an verstecken sich die zwei Unendlichkeiten, welche Eigenschaften von Rw und Rz sind, in allen z/w-Relationen, egal ob diese z/w nun als Prozesse oder als Objekte konkret werden. Jenseits der Natur erscheinen diese dreifachen Eigenschaften, statisch endlich,dynamisch endlich und unendlich in I/E und als N/G. Es geht dort einerseits um die prinzipielle unbegrenzte, leere Dynamik der vier Größen – N,G,I, E. Wenn es analog zu Rz/Rw Gleichgewichte gibt – N/G und I/E – kann von „Endlichkeit“ gesprochen werden, weil sich die jeweiligen relationierten Größen gegenseitig in ihrer Dynamik neutralisieren. Und drittens kann es in sich dynamische ungleichgewichtige Relationen geben, wenn eine der beiden Größen die andere überwiegt.
Die nicht-relationierten Größen stehen dann für die aktuale Unendlichkeit. Im Geistigen sind das die isolierten E, I und G, N. In der Natur beruht die Quantenphase, welche wir als „z, w“ bezeichnen, auf der Tatsache, dass die nicht begrenzte, unendliche R-Reichweite und die S-Reichweite der freien z, beziehungsweise w, als „aktuale“ unendliche Existenzen gelten können. Eine konkrete Folgerung aus der Behauptung eines solchen Existenz-Begriffes ist zum Beispiel die, dass sich die Genese des Kosmos unendlich oft wiederholt.
Aber auch hier merkt man, aktuale und potentielle Unendlichkeit sind nicht wirklich voneinander zu trennen. Das wiederholt die Untrennbarkeit von Endlichkeit und Unendlichkeit. Beides sind Beispiele für „die neuen Denkanforderungen“, welche wir auch in „N-G zu N/G“ darstellen und verlangen.
Auf die Mathematik angewendet, bedeutet diese Diskussion, dass man beispielsweise eine unendliche Menge als ein aktuales Objekt behandeln kann. Eine derartige Existenzbehauptung sollte aber philosophisch stets begleitet sein von der Einsicht, dass die Existenz aus dem Wechselspiel zweier unendlicher Größen besteht. Die die z,w beziehungsweise Rz und Rw bilden ursprünglich jene drei Relationen, die strikt getrennten z-w und das z/w-Gleichgewicht der als Verbundenheit aufeinander Bezogenen sowie die z/w-Relation als doppelte und ungleichgewichtige Dynamik zwischen – übrigens beliebig vielen – z und w.
Diese physikalische Basis weist dann nicht nur auf die Mathematik. Der Streit um aktuale und potentielle Unendlichkeit sowie die Endlichkeit führt über die Mathematik hinaus. In den theoretischen Grundlagen aller Einzelwissenschaften und in der Philosophie findet man das z-w-Phänomen als die isolierten und freien Größen E, I, N und G. Sie sind sowohl von unendlicher Art wie zugleich „ objektiv“ existierend. Deren Existenz ist von der gleichen Art wie die der isolierten z, Rz, Sz und der w, Rw, Sw. So erzeugen beispielsweise die isolierten G in einem unendlich leeren Prozess die E, die allerdings dadurch selbst unendlich leer sind.
Die unendliche E-Existenz.
In vielen wissenschaftlich-philosophischen Situationen taucht der unendliche Existenz-Regress auf. Die unbestreitbare Aussage, dass es eine unbegrenzte begriffliche Feststellung von der Existenz der „Existenz“ usw. gibt kann als „Aufhebung“ der Dualität von aktualer und potentieller Unendlichkeit angesehen werden. Diese Dynamik als Aufhebung ist zwar „nach oben offen“, aber nicht in der Lage, Neues zu erzeugen. Weshalb sie als leer bleibend, mit sich identisch bleibend, aber dennoch eben immer „mehr“ werdend angesehen werden kann. Derartige abstrakte Denkkonstrukte sind notwendige Folgen der „Isolierung“ der Basisgrößen, hier die von E. Philosophen wie zum Beispiel Hegel oder Heidegger – E als „Sein“ – kämpften mit diesen Problemen. Diese Problematik hat heute die wissenschaftliche Ebene erreicht, zum Beispiel in der Quantentheorie oder hier in der Mathematik
Es gibt also beides, die Dualität als Gegensatz von Endlichkeit und Unendlichkeit und die Aufhebung dieses Gegensatzes dadurch, dass die Endlichkeiten ebenfalls als leere Unendlichkeiten zu verstehen sind, dann nämlich, wenn E – beziehungsweise N, I, G – isolierte Größen bleiben.
Jene isolierten E, G, N sind nun weiterhin sowohl Unendlichkeitsgrößen als auch Vertreter und Varianten des Nichts. Eben deshalb, weil sie „leer“ sind, da sie keine Relationierung haben. Zusammenfassend ist dann jene spezifische Existenz der endlichen Größen und das Nichts, also die Nichtexistenz denknotwendig gleichzusetzen. Dieser dreifache Charakter, etwas zu sein und zugleich nichts zu sein sowie als unendlich gelten zu können, ist verankert in den beiden Quantenphasen, der Relation z/w und der nichtkohärenten Phase der z,w. Hier wie dort zeigt sich der objektive physikalische Übergang von einer Phase in die andere; der übrigens der Kern der allgemeinen Entwicklung ist. In der Mathematik werden diese allgemeinen philosophischen Überlegungen zur Begründung der einzelnen Teilgebiete herangezogen und spezifisch strukturiert.
Deskription und Konstruktion
Die philosophischen Konstitutionsbedingungen des mathematischen Erkennens sind bei uns derart, dass beide herkömmlichen Varianten, die deskriptive und die konstruktive, ihren Platz und Sinn in einem der Mathematik übergeordneten philosophischen System haben. Die Unterscheidung von aktualer und potentieller Unendlichkeit ist als Modifikation dieser deskriptiven und konstruktiven methodischen Haltung, hinsichtlich der Unendlichkeitsproblematik, anzusehen.
Die deskriptive und die konstruktive Begründung der Mathematik verbindet die Einzelwissenschaft der Mathematik mit den allgemeineren philosophischen Gebieten der Erkenntnistheorie und der Methodologie.
Die empirisch-deskriptive Methode setzt den Existenzbegriff ( E ) – konkret zum Beispiel von Zahlen und Mengen – voraus. Die konstruktive Annahme setzt das denkend handelnde menschliche Subjekt voraus.
Die konstruktivistische Grundhaltung ist eine Abwandlung der „allgemeinen Entwicklung“ mit der Betonung darauf, dass jener Teil der allgemeinen Entwicklung gemeint ist, der von der gesellschaftlichen und individuellen Subjektivität getragen wird. Damit wird die Fundierung der Mathematik als jener Ausschnitt eines philosophisch-wissenschaftlichen Gesamtsystems verständlich, der durch die Auseinandersetzung zwischen Objektivem und subjektivem Geist geprägt ist. Wobei „Objektiver Geist“ die isolierten G, N und E meint und der subjektive Geist die zugehörigen emotional-rationalen Vorformen zu systematisieren versucht.
Wir beziehen den konstruktiven und den deskriptiven Standpunkt aufeinander, wenn wir die konstruktive Erarbeitung als eine komplexere Entwicklungsphase ansehen und die platonisch-ontologische Methodenart, welche hier von der Deskription vertreten wird, als jene Veränderung in der Entwicklung sehen, die aus der engen N/G/E/I- Relation das alleinige G macht, welches das Identische ( E ) erzeugt. Unsere philosophische Darstellung der Mathematik vereint die zwei herkömmlichen Meinungen, indem wir beide auf die gemeinsame „allgemeine Entwicklung“ beziehen. Damit aber geht es uns bei der Aufhebung des Gegensatzes der beiden Methodenarten, der Deskription und der Konstruktion., wie bei dem Gegensatz von aktualer und potentieller Unendlichkeit, um eine Verallgemeinerung in der philosophischen Diskussion.
Wir ordnen dem deskriptiven Ansatz N-G und E zu und der konstruktiven Methode das N/G-Modell. Das eine bedeutet, dass etwas Seiendes ( E ) durch eine identifikatorische Methode ( G ) festgestellt wird. Während das Konstruieren im Zentrum eine Anzahl von Methoden hat, deren dialektische Wechselwirkung zwischen dem handelnden, denkenden Subjekt und dem Objekt in abstrakter Weise durch N/G beschreibbar ist Die identifizierenden Methoden vermeiden konsequent jede Negation ( N ). Das Konstruieren aber baut Brücken vom Subjekt zum „Anderem“, zum Objekt, beziehungsweise zwischen zwei Dingen, die „Nichtgleiche“ ( N ) sind, aber im Konstruktionsprozess einander angenähert werden sollen.
Unsere „methodische“ Seite der Mathematik kann dann als N-G zu N/G gefasst werden. Das heißt, sowohl N-G als auch N/G sowie zugleich beider Relation begründen die Mathematik in notwendiger Hinsicht. In der Mathematik hat jedes konkrete Detail diese beiden Seiten. Die konstruktive, operative Begründung erlaubt die grenzenlosen Erweiterungen der Mathematik auf alle Wissenschaften, aber vor allem in alle möglichen Denkräume. Während die deskriptive Seite der Mathematik zum Beispiel eine mögliche „Axiomatik“ deshalb erlaubt, weil die G-Methodik stets eine „reduzierende“ Dynamik darstellt.
Der Gegensatz von deskriptiver und konstruktiver Bestimmung ist also eigentlich nur ein relativer Gegensatz. An seine Stelle setzen wir das Übergangsfeld zwischen den Polen N/G und N-G. Da man N-G dem idealistischen Denken und N/G dem traditionellen materialistischen Denken zuordnen kann, wird diese Aussage verallgemeinerbar. Denn die genannte Erweiterungsmöglichkeit der N/G ist auch auf „materialistische“ I/E- Inhaltlichkeit ausdehnbar. Mathematik ist dann als „N-G zu N/G“ ebenso idealistisch wie materialistisch deutbar.
Die mathematische Wissenschaft reiht sich in die Philosophie ein, da zu den herkömmlichen philosophischen methodologischen Grundpositionen, welche als die G-Seite modelliert werden, nicht nur die empirischen und die logischen, sondern jetzt auch die mathematischen Identifikationen gehören. Woher kommen die G und auch die Negation ( N ), auf der die methodischen Positionen beruhen? Die N- G-Trennung und die N/G-Wechselwirkung des Konstruktivismus, die sich letztlich auf die Übergangsprozesse zwischen den „Objekten“ und auf deren Erzeugungsvorgänge stützt, erhalten ihre spezifischen Eigenschaften sowohl von allen vorhergehenden Entwicklungsphasen und zugleich von der Struktur der höchst entwickelten Phase, der des Objektiven Geistes.
Die das Methodenpaar „Deskription- Konstruktion“ modellierenden N-G und N/G beruhen also auch auf den physikalischen Grundannahmen Rz, Rw und Rz/Rw der ersten beiden Entwicklungsphasen der Physik. Von der Quantenphasik „z,w zu z/w“ her sind die beiden Methoden gleichberechtigt, sie sind zugleich gegensätzlich und – einander ergänzend – miteinander relationiert.
Wir gehen grundsätzlich davon aus, dass im wissenschaftlich-philosophischen Erfassen aller Bereiche der Natur sowie der individuellen und gesellschaftlichen Subjektivität und dem Objektiven Geist alle Arten von Methoden benötigt werden. In der Deskription ist es das „Feststellen“, Identifizieren ( G ) wie es die Empirie schafft. Die N-G-Methodik besagt, dass der Kern aller dazugehöriger Einzelmethoden stets die Bildung von Identitäten ist, und dass dies Denken in strikt abgrenzender Beziehung zur Negation gesehen wird. Wobei die Negation jedoch als isoliertes N auch gebraucht wird. In der Philosophie herrschten seit Platon die G-Methoden vor, denen sich noch Kant annähert, wenn er schreibt: “Nur indem man die Objekte der Natur denkt, sind sie“.
Die erzeugenden und verbindenden Vorgänge, die man zum herstellenden Konstruieren benötigt, werden durch N/G modelliert.
Ein Beispiel aus der Mathematik für N/G sind die Kalküle. Das fortschreitende Größerwerden der Natürlichen Zahlen von der Einheit „Eins“ ( E ) zum „Ganzen“ ( En) der unendlichen Menge der Natürlichen Zahlen, geschieht mit der N/G-Methode der Addition auf die bereits gezeigte Weise. So wie zu G das E gehört, können N/G-Methoden mit I und I/E verbunden werden. I/E steht für Begriffe wie „Inhaltlichkeit“ oder „Qualität“. Aber in der Mathematik hat diese subjektiv-geistige I/E-Funktion – wie schon öfter betont – nichts zu suchen. Deshalb ist der Additionsvorgang ohne Einfluss von dem, was man als „qualitative“ Veränderung nennen könnte. Von daher ist die Erzeugung von E – zum Beispiel vom„Einzelnen“ zum „Ganzen“ – ohne eine „qualitative“ Entwicklung.
Die drei voneinander isolierten Größen E,G, N, welche zum Objektiven Geist gehören, bestimmen die Mathematik „von Oben“, also vom Objektiven Geist her. Dabei ist G und E der Kern der deskriptiven und der empirischen oder ähnlicher Methoden. Diese deskriptive Identifikation von „Dingen“, von endlichen Objekten entspricht derart formal der der aktualen Unendlichkeit.
„Von unten“, das heißt im Ablauf der Entwicklung steht dem die N/G-Methodik gegenüber. Von z und w her, durch alle Übergänge zwischen den Phasen – Physik, Biologie, menschliche Psyche – leiten jene Relationen und Methoden, die als Varianten des Grundmodells N/G angesehen werden können. Die „konstruktive“ Mathematik ist die begriffliche, denkerische Erzeugung von Objekten und Eigenschaften, die Produktion und das Nachvollziehen von Regeln im mathematischen Handeln durch letztlich nicht endendes Aufeinanderbeziehen der beiden Grundgrößen G und N. Denn die Wechselbeziehung des Identifizierens und des Negierens bestimmt dort den Veränderungsvorgang und die Erzeugung von Neuem.
Ein spezifisches Konstruieren ist das konstruierende Abzählen der Natürlichen Zahlen, das nicht abbricht und das die „potentielle“ Unendlichkeit erzeugt.
Das N/G- Wechselverhältnis trägt zur Konstitution der Natürlichen Zahlen bei, indem es den Übergang von einer Zahl zur nächsten, als „Addition“, als doppelt unendliche Wechselwirkung zwischen zwei fremden ( N ) Zahlen, die zum Zusammenschluss ( G ) kommen, beschreibt. Da N-G und N/G sich aber stets in jedem mathematischen Einzelbereich gegenseitig ergänzen, muss also auch hier N-G zur Erzeugung der Natürlichen Zahlen beitragen.
Die N-G-Methoden bedeuten, dass das Identifizieren ( G ) auch darin besteht, etwas von allem Anderen, vom Nichts und vom Negationsverfahren getrennt zu halten. Die N-G-Methoden erzeugen jedes Mal ein E, zum Beispiel indem die empirische Methode die Existenz eines Objektes ( E ) erkennt . Allgemeiner und in der klassischen Logik kann man mit N-G aus der Negation eines Universalurteils ( En ) auf die Position des fraglichen Existenzurteils ( E1 ) schließen. Mit anderen Worten, es gibt dort für diese spezifischen Abstraktionen der allgemeinen E-Entwicklung immer einen exakt zu identifizierenden Weg; von E1 zu En und von En zu E1. Das alles trifft für die alternativen N/G-Methoden – hier die der Konstruktivität – nicht zu.
In der Mathematik kommen, wie gesagt, beide philosophischen Ansätze zusammen, was als „N-G in Relation zu N/G“ modelliert wird. Da die beiden Methodenarten in der „Natur“, vor allem in der Physik, auch nicht getrennt sind, ist die Mathematik durch die Relation „N-G zu N/G“ auch dadurch gut an die Physik anbindbar.
Ist dieser so erscheinende Widerspruch, als Relation zwischen Deskription, N-G, und Konstruktion, N/G, ein dialektisches Verhältnis? Zweifellos, aber eher im Hegelschen als im Marxschen Sinne. Denn Hegel schließt die I- und I/E-Seite aus, welche zum Beispiel als Interessen und interessenvermittelte Technologien und interessengeleitete Wissenschaften bei Marx zentral sind.
Deskription und Konstruktion im Außermathematischen
Der Gegensatz von „Ding“ und „Tat“ ist seit jeher im Alltagdenken und in allen Wissenschaften vorhanden. Einerseits gibt es nach philosophischer Auffassung das empirisch erfassbare „Statische“, das Produkt, das Ding, andererseits das „Dynamische“, die Tat, die Produktion. Beide schließen sich wechselseitig aus, aber sie bedingen auch einander. Der Gegensatz kulminiert in Hegels Theorie, die zugleich mit der Denkmöglichkeit die Aufhebung dieser Widersprüchlichkeit zeigt. Dann gelten die fraglichen Dinge oder Objekte als Produkte des Tuns. Begriffe wie die „Tat“ – und daher auch die „Einheit von Ding und Tat“ – sträuben sich aber gegen eine eindeutige Bestimmbarkeit, weil in ihnen das Ziel des Tuns, I, eine Rolle spielt; und I ist prinzipiell „unbestimmt“, beziehungsweise auf eine andere, neue Weise bestimmt.. Um die mathematische Grundbedingung der Bestimmbarkeit und der Eindeutigkeit zu erhalten, muss deshalb I in vielen Gebieten der Mathematik fehlen.
Hier sei kurz auf die Verbindung zwischen der Mathematik und dem Hegelschen Denken, das heißt dessen höchst entwickelter Begriffsphilosophie eingegangen. Wie steht diese Philosophie zu mathematischen Grundsatzproblemen? Die deskriptive Auffassung von Mathematik setzt so etwas wie den Platon-Hegelschen „absoluten Geist“ voraus. Wenn die Mathematik allein die deskriptive Methode hätte, könnte sie sich als eine Systematisierung dieser absoluten Existenzauffassung verstehen. Kann aber dieser absolute geistige Bereich als existent vorausgesetzt werden? Ja und nein. . In der „allgemeinen Entwicklung“ erzeugt das menschliche Subjekt diese absoluten Denkgegenstände zwar in seiner relativ freien Kreativität und von daher in ziemlicher Freiheit, welche auch alle möglichen und denkbaren mathematischen Strukturen erarbeiten lässt, aber auch aus einem objektiven Zwang und daraus resultierenden Grenzen der subjektiven Freiheit, der aus seiner Einbindung in diese „allgemeine Entwicklung“ stammt.
Wir schreiben der als „deskriptiv“ charakterisierten Auffassung sowohl eine Methodenseite zu, G, als auch eine Strukturseite E. Dem mathematischen „Konstruieren“ aber schreiben wir nur die Methodik zu, die durch N/G modelliert wird, denn die N/G-Dynamik, zum Beispiel die idealistische Dialektik, muss als eine sich selbst erfüllende und daher unbegrenzte Dynamik angesehen werden.. Hegel agiert zunächst wie die Konstruktivisten. Seine dialektische Methode ist eine Abstraktion des konstruierenden Handelns und Denkens. Dann kompliziert sich aber die Situation. Im Sinne der hegelschen Systematik sollten konstruktives und deskriptives Verfahren in ihrer kontradiktorischen Voreinstellung aufgehoben werden. Denn das konstruierende Handeln kommt in der wissenschaftliche Praxis und im subjektiven Denken ohne Behandeltes und Handlungsergebnisse doch nicht aus. So bricht jeder Konstruktivist das Aufzählen der Natürlichen Zahlen früher oder später doch im Endlichen ab.
Für die Mathematik bedeutet diese tendenzielle Identität von Methodik und Strukturen, dass sich Strukturen, mathematische Größen in Regelsysteme überführen lassen, und die mathematische Methodik erlaubt es, die Strukturen wieder auflösen zu können.
Dadurch setzt sich auch in der Mathematik, wie überall, der deskriptive Standpunkt durch. Zum Beispiel als Reduzierung auf eine letzte Einheit, was wiederum bei Hegel der „absolute Geist“ darstellt.
Wir verallgemeinern in unserer philosophischen Theorie die Objekte als E und I und das Tun als N und G. In dieser Theorie werden jene vier Grundgrößen durch eine allgemeine Entwicklung verbunden. Die Mathematik kann mit ihren spezifischen Problemen als eine Einzelphase in dieser Entwicklung erklärt werden. So kann speziell gezeigt werden, dass die zu beschreibenden, deskriptiven mathematischen Objekte – beispielsweise Zahlen oder Mengen – auch konstruierte sind, und umgekehrt werden Zahlen dann als deskriptiv erfassbare Objekte angesehen, die durch die Konstruktionen der mathematischen Operationen entstehen, zum Beispiel durch die Kalküle.
Diese Ding-Erzeugung durch die Tat, die Verdinglichung durch geistige Tätigkeit, ist philosophisch keineswegs selbstverständlich. Um das näher zu untersuchen, verallgemeinern wir das Ding als E und den Konstuktionsvorgang als N/G oder G. Es geht dann um den „Übergang“ von N/G und G zu E.
Dabei darf nicht vergessen werden, die Probleme der Mathematik – wie übrigens auch der Philosophie und der anderen Wissenschaften – können nur insoweit verstanden und gelöst werden, weil dieser traditionale Gegensatz von „Ding,Objekt, E“ und „Tat,Prozess,N/G“ von uns auf die Eigenschaften von z und w zurückgeführt werden können. Die z,w und z/w sowie die zugehörige Entwicklung sind die objektiven Vorgaben, welche letztlich jenen „Zwang“ ausüben, der sich nicht nur in den N-G-Methoden wie der Logik und Empirik zeigt, sondern auch darin, dass jedem Gegensatzpaar auch dessen Aufhebung zuzuordnen ist.
Deskription und Konstruktion und „N-G zu N/G“
Einerseits ist es die z,w-Basis, welche diese Dualität „Objekt-Dynamik“ erzeugt, andererseits ist auch bereits in diesem quantentheoretischen Anfang die Dualität der zwei dynamischen Methodenarten angelegt; G als auf E gerichtete Dynamik – eben zum Beispiel als Deskription – und N/G als erzeugender, konstruierender dynamischer Vorgang. In allen Wissenschaften und Bereichen kann das allgemeine N/G-Modell der Relationen verschiedene und konkrete Umschreibungen annehmen; so als „Potentialität“ oder als „Veränderung“ oder als dialektisches Verhältnis. Stets geht es um die wechselseitige Wirkung zweier extrem entgegengesetzter Größen mit dem Ziel, etwas Neues zu erzeugen.
Die allgemeine Entwicklung verbindet und überhöht diese dynamischen Vorgänge. Ein möglicher Streit, ob die Begründung der Mathematik allein an die Begriffsbildung gebunden ist oder ob die quantentheoretische Begründung wichtiger ist als ihre nomothetische und kognitive Fundierung, ist nicht kontrovers zu diskutieren, weil es um das Zusammenspiel zwischen den z, w und den N, G des Objektiven Geistes geht.
Der Gegensatz von deskriptiver und konstruktiver Grundhaltung erscheint also bei uns als Relation „N-G zu N/G“, wobei dadurch eine wissenschaftliche und philosophische Metaebene errichtet wird, die einerseits jenseits dieser traditionellen Kontroverse liegt, jedoch andererseits von erhöhter kognitiver Schwierigkeit ist.
Ist in der Natur noch alles das vereint, was in höheren, geistigen Entwicklungsphasen getrennt werden kann, als Ding-Tat-Dualität oder in den Sprachen zum Beispiel als „Subjekt-Prädikat“ oder was als Gegensatz von „sinnlicher Wirklichkeit“ und „menschlicher Tätigkeit“ erscheint, so vereinfachen und systematisieren sich derartige alltagssprachliche Sammelkategorien in der eben deshalb auch schwierigen Sprache der Mathematik zu N-G, N/G und E.
Seit Marx wissen wir, der Hauptmangel des alten „mechanistischen Materialismus“ war die Fassung der Wirklichkeit allein als „Form“. Es war diese abstrakte Kategorie des materiellen Objektes, die statt der tatsächlich komplizierten Materie untersucht wurde. Letztlich wurde nicht viel mehr möglich, als eine Grundaussage von der Existenz der Materie zu machen. Wir bezeichnen das als „E“. Und der Hauptmangel des alten Idealismus war die Fassung der Wirklichkeit allein unter der Methode, der geistigen menschlichen Denktätigkeit. Wir erfassen das als N-G sowie N/G.
Das moderne Fundament unserer Philosophie besteht nun in I,E und „N-G zu N/G“ einerseits sowie den zwei S- und den zwei R-Aspekte andererseits. Weil aber alle Einzelwissenschaften derart neu gefasst werden müssen, gilt es hier nachzuweisen, wie sich in der Mathematik E und I zu N und G verhalten sowie die Entwicklung von Rz und Rw zu N und G zu begreifen.
Dann gilt in der Mathematik der R-Aspekt, N-G und N/G und die Relationen der drei zueinander. Weiterhin gilt, dass die aktive Erarbeitung aus G zu E führt und dass N/G das I erzeugt.
Wie erwähnt, verschwimmt die Unterscheidung zwischen dem deskriptiven N-G, E und dem konstruktiven N/G , wenn man bedenkt, dass beide sowohl Endlichkeiten wie auch Unendlichkeiten besitzen. E und N/G im Gleichgewicht sind als Endliches anzusehen, und N/G im dynamischen Ungleichgewicht sowie die abstrakte Trennung bei N-G sind ohne die Unendlichkeitsvorstellung kaum zu denken.
Wie aber ist dann der Unterschied zwischen den beiden Methodenarten N-G und N/G zu verstehen? Alle wissenschaftlichen Bereiche und hier die Mathematik sind von dem Wechselspiel zweier „Tendenzen“ konstituiert, einerseits der Tendenz zur Reduzierung auf ein minimales Identisches ( G ) und auf das „Nichts“ ( N ), andererseits auf eine Relation zwischen zwei tendenziell unbegrenzten Ausweitungen, was von N/G gut modelliert wird.
Ich will das an einem Beispiel verdeutlichen: So wird von der deskriptiven Grundeinstellung die Behauptung „1=2“ als Kontradiktion, der logischen Grundlage widersprechend, als „falsch“ ( N ) abgelehnt. Es wird so auf dem kürzesten Weg „N“ erreicht. Während die konstruktivistische Haltung nicht diesen kurzen Prozess macht, sondern „1=2“ als einen „absurden analytischen Satz“ bezeichnen würde und damit für die Lösung der inhärenten Problematik die ganze Sprachtheorie einbeziehen muss, eine nahezu unbegrenzte Ausweitung des Ablehnungerweises.
Wenn wir behaupten, die deskriptiven G-Methoden – „N-G“ als dingliche Auffassung – und die konstruktiven Methodenarten ( N/G ) als tätiges Erzeugen neuer Gattungsmitglieder wird als Gegensatz aufgehoben, indem „N-G zu N/G“ gebildet wird, dann kann das nicht zufriedenstellend sein. Zum Beispiel bleibt das Modell schematisch und daher sehr unanschaulich. Der abstrakte philosophische Sinn, die Reduzierung auf die zwei Entitäten, des „Nichts“ ( N ) und des Identischen ( G ), zu verbinden mit der unbegrenzten dynamischen Erzeugung von Neuem ( N/G ), muss also veranschaulicht werden.
Deskription und Konstruktion stehen in einem Verhältnis der gegenseitigen Ergänzung. Durch diese „Ergänzung“ wird Mathematik eigentlich erst konstituiert. Der Konstruktivismus hat aber zwei „Schwachstellen“, er kann „Nichthandeln“, allgemeiner, er kann das Nichts, N, philosophisch nicht erfassen. Ähnlich ist es mit dem absoluten „Widerspruch“, N-G. Im N/G-Modell, das ja auch die Dialektik und die Hermeneutik fundiert, kann das „Nicht-Handeln, Nicht-Konstruieren“ nicht systematisch verstehbar gemacht werden. Vertreter des Konstruktivismus helfen sich wie eben erwähnt, indem sie die Kontradiktion als sprachliche „Standardabsurdität“ behandeln. Solcher Verweis führt zwar ins unbegrenzt Sprachliche, bleibt aber gerade deshalb recht hilflos. Auf der anderen Seite kommt die N/G-Methodik nicht ohne Bezug auf die isolierten N aus, wenn zum Beispiel die Dialektik als „Negation der Negation“ bezeichnet wird. Als Erzeugungsmethode ist die Negation der Negation zwar notwendig, aber noch nicht hinreichend, um eine „Position“ E oder G, zu erzeugen. G ist das prinzipiell Andere zu N. N bezieht – als das gegenüber dem durch G identisch Gewordenen das je Andere – in N/G den Rest der Welt mit ein, wird aber durch das Position ( E ) erzeugende G in dieser unbegrenzten Dynamik gebremst. Mit anderen Worten, N/G-Methodik muss stets durch N-G-Methoden ergänzt werden.
Wenn in den bisherigen empirischen Wissenschaften die deskriptive Position nur als G und E gefasst werden kann, dann reicht dies in den weiterentwickelten Wissenschaften und hier in der Mathematik nicht aus. Neben dieser abstrakten Identitätsbildung G bedarf es der N/G- Methoden.
Mit der Darstellung der mathematischen Grundgrößen als deskriptive, G,E und konstruierende, N/G – wozu der R-Aspekt als „Vertreter“ für I kommt – wird die Mathematik in eine umfassende Philosophie einbezogen. Es käme jetzt darauf an, die methodischen und begrifflichen Strukturen der Mathematik mit denen der Philosophie zu verbinden. Wie bewähren sich die beiden Modelle N-G und N/G bei der Klärung traditioneller Probleme in der Philosophie der Mathematik?
In der Philosophie wird von den einen behauptet, die Mathematik sei ein Produkt des freien schöpferischen Denkens. Andere meinen, sie sei fest an „die objektiven Realitäten“ gebunden. Wir fassen letzteres als eine formale Aussage zur „allgemeinen Entwicklung“ auf, denn der Abstand zwischen „objektiver Realität“ und deren mathematischer Erfassung muss ja irgendwie berücksichtigt werden. Es sind N/G-Abläufe, welche dabei die Verbindungen und Veränderungen herstellen. Während eine freie Erzeugung von geistigen Strukturen formal als isolierte G und isolierte N, also als „N-G“ und als E zu verstehen ist.
Deskription und Konstruktion in der Mathematik
Die von der Philosophie oft verlangte Integration der Form des Objektes mit der Form der abstrakten Denktätigkeit in Bezug auf dieses Objekt wenden wir – über die Zwischenstation der Entwicklung zu N,G und E – auf die Mathematik an.
Wie kann zum Beispiel die abstrakte Denktätigkeit, die als „N-G zu N/G“ modelliert wird, zu der philosophischen Fundierung der Zahlen als Objekte der Zahlentheorie beitragen? Die Unterscheidung, aber auch die Verbindung von Zahlen und Kalkülen gehörten immer schon zum mathematischen Alltagsverstehen.
Allgemein geht es zunächst noch beim „Denkprozess zur Erzeugung eines Objekts“ um die anhaltende Kontroverse zwischen deskriptiver Auffassung, der wir N-G, E zuweisen und dem konstruktivistischen Standpunkt, der bei uns durch N/G modelliert wird. Die deskriptive Seite sieht zum Beispiel die „Wahrheit“ als an sich gegebene Wertemenge ( E ) – zum Beispiel 1,0 . Die konstruktive Seite dagegen sieht die Wahrheit als „Eigenschaft von Sätzen“, die in konstruierenden Prozessen beweisbar sind ( N/G ).
Auch in der konkreten Mathematik verbinden sich die Probleme der konstruktivistischen-deskriptiven Dualität mit den Dualitäten des potentiellen und aktualen Unendlichen sowie dieser Unendlichkeiten mit dem Endlichen. So setzt zum Beispiel die Bildung der Natürlichen Zahlen durch das Additionskalkül eine objektiv existierende Unendlichkeit in zweifacher Weise voraus: Als Unbegrenztheit dieses Additionsprozesses – hier wird Rw verwendet – und als die Unendlichkeiten des additiven Kalkülprozesses selbst; sie werden weiter unten behandelt.
Die Dualitäten, deren Ursache wir in „z,w“ sehen, durchziehen alles Denken. Im Mathematischen sind Null-Eins, gerade und ungerade Zahlen, positive und negative Größen Beispiele für Dualitäten aus der Zahlentheorie nach dem N-G-Modell. Ebenso ist es mit den Kalkül-Paaren Addition-Subtraktion, Multiplikation-Division, Potenzieren-Radizieren. Diese gelten im Gegensatz zu den N-G-Konkretisierungen als N/G-Konstrukte, was also wiederum ein Beispiel für die fundamentale N-G zu N/G“- Relation ist.
Anwendung auf Teilgebiete der Mathematik
Die Grundannahmen in unseren Modellbildungen sind der Entwicklungsgedanke, der Zusammenhang und die Gegensätzlichkeit von N-G und N/G sowie der R-Aspekt und die E-Seite. Sie sollen jetzt an einigen mathematischen Begriffen und Teilbereichen beispielhaft konkretisiert werden.
Abbildung
Zuerst sei kurz auf die „Abbildung“und die „Gleichsetzung“ als ein klassisches Problem der philosophischen Fundierung der Mathematik eingegangen. Es kann durch G modelliert werden und ist der Deskriptionsproblematik zuzurechnen. Dahinter steht jedoch eine Reihe philosophischer Problemkreise. So hier vor allem die Frage, gibt es zwei Objektivitäten, zum Beispiel die der Ersten Physik und die des objektiv existierenden Geistes? Was unterscheidet beide, wie steht der reflektierende Mensch zu beiden, wie genau sieht das Abbildungsverfahren aus, gehört es zur Physik oder zum Objektiven Geist, wieso gibt es eine Verbindung zwischen beiden, wie werden die wirklichen Gegenstände reduziert, um zu den Abbildungskategorien zu passen, etc. Alle diese traditionellen Probleme, hier am Beispiel einer mathematischen Kategorie angedeutet, gilt es mit Hilfe von z,w und der Entwicklung zu lösen.
Die Zahl
Viele Begriffe, gerade auch bei der Bildung der Axiome, scheinen nur alltagsgestützt und naiv zu sein. Sie werden dann aber für den weiteren Aufbau aus den Axiomen. oder aus vergleichbaren Grundsätzen wichtig. Für uns heißt das letztlich, dass die Mathematik philosophische Reflexionen einer modernen Metaphysik sowie den Entwicklungsablauf voraussetzt.
So sind auch die Zahlenarten durch diese allgemeine Entwicklung verständlich zu machen. Sind die Komplexen Zahlen noch in der Lage unmittelbar an das materielle physikalische Geschehen „anzukoppeln“, so nimmt diese Fähigkeit bei den Reellen Zahlen und den Rationalen Zahlen in jener systematischen Weise ab, welche für die Entwicklung der Phasen kennzeichnend ist. Die Ganzen und die Natürlichen Zahlen sind dann Vertreter des Objektiven Geistes. Diese Entwicklung wird in den herkömmlichen Darstellungen zwar umgekehrt, von den Natürlichen bis hin zu den Komplexen Zahlen, sie führt aber philosophisch von den z,w bis zur Phase des Objektiven Geistes.
Die formalen Charakteristika der Materie in z, w sind die unendlich dichte Rz-Beziehung, welche auch zur Rw/Rz-Bildung führt sowie vor allem die Relationen zwischen den Rw. Diese Relationen entwickeln sich auf spezifische Art zu den Beziehungen in den Kalkülen. So wird beispielsweise der Additionsablauf daraus. In den Komplexen Zahlen schreiben wir der i-Komponente die freien Rz und die freien Rw zu und in den Reellen Zahlen ist die unendliche „Tiefe“ zwischen den Zahlen ein Ergebnis der Rz-Rz-Relation. Die grenzenlose Erweiterung der Zahlenräume in die Weite beruht auf dem Rw-Merkmal. Die Rw/Rz-Gleichgewichte sind die Ganzen und Natürlichen Zahlen. Das Fehlen der freien Rw beziehungsweise Rz gestattet es, diese Zahlen als eine E-Konstellation zu verstehen, also als Teil des Objektiven Geistes.
Bereits Peano stellte fest, dass die „Verschiedenheit“ der Zahlenarten nicht als Trivialität anzusehen ist. Um die Zahlentheorie philosophisch zu begründen, wollen wir auf den wenigen bisher formulierten Erkenntnissen aufbauen. Ähnlich dem grundlegenden Gedanken der „Dualität“ und fast so ursprünglich wie die Existenzaussage, hier die der „Zahl“, die wir als „E“ ebenfalls grundlegend verankern, reduzieren wir die Dualität auf „N-G“. Wir schreiben N-G weiterhin noch zu, zusätzliche grundlegende Strukturbegriffe zu repräsentieren, so den Begriff der „Gleichheit“ ( G ) und den der Negation ( N ). Seit Hegel gilt, dass G ohne den Begriff der Ungleichheit ( N ) nicht zu denken ist. Das andere metaphysiche Konzept, N/G, zum Beispiel als dialektische enge Verbindung der G mit den N, ergänzt N-G.
Die „Zweiheit“, Dualität, die wir auf z, w zurückführen, erscheint auch in den Zahlen, so als Null-Element und Eins-Element und als gerade-ungerade Zahlen, auch als Primzahl und Nichtprimzahl etc. Es gilt aber, zugleich den Einfluss von z/w zu sehen, welcher jede dieser Zweiheiten aufhebt, zum Beispiel, wenn Null – aus übergreifenden systematischen Gründen – als gerade und zugleich als ungerade Zahl gilt, oder wenn die Zahl „Zwei“ gerade und Primzahl ist, während sonst alle Primzahlen ungerade sind.
Dass die in N-G verallgemeinerte Zweiheit in N/G wiederum eine neue Einheit erzeugt, verweist auf diese allgemeinste Struktur „N-G zu N/G“. Philosophisch gesehen ist N-G zu N/G die Vereinigung von Deskription mit den konstruierenden Methoden. Beide zusammen decken von dieser methodischen Seite her die Wissenschaft Mathematik ab. Sie ergänzen einander, denn wie will der Konstruktivismus das Einselement und Null „erzeugen“. Man kann kein „Erstes“ ohne vorausgesetzte Basis, also aus dem Nichts erzeugen und man kann nicht „Nichts“ konstruieren.
Wenn dagegen das konstruktivistische N/G im Gleichgewicht ist, dann hat dies einerseits den Einheitscharakter ( E ), denn N/G ist dann nach außen abgeschlossen, hier die Zahl Eins. Und eben diese Abgeschlossenheit stellt sich, nach außen jedenfalls, als „Nichts“, als Null dar. Eine derartige Existenz ist nach solchen Hegelschen Überlegungen zugleich eine Nichtexistenz. Damit aber grenzt der konstruktivistische Standpunkt an die Basisannahmen E und N-G des Deskriptivismus. Das aber heißt, nur das Zusammenspiel beider ist sinnvoll.
Die Natürlichen Zahlen
Auch in der Analyse und Konkretisierung der Natürlichen Zahlen wird der deskriptiv-konstruktive Gegensatz beseitigt und die Unterscheidung von N,G und E und auch vom R-Aspekt wird schließlich sogar aufgehoben, Das ist letztlich in z,w angelegt. Es ist aber dennoch nahe liegend, die Natürlichen Zahlen erst mal auf N-G und N/G zu reduzieren und danach mit z,w und deren R-Aspekten zu verbinden.
Dabei können wir uns beispielsweise an die Axiome von Peano halten und diese in unserem Sinne vertiefen. Die „Eins“ ist eine Natürliche Zahl. Ihr liegt in der philosophischen Verallgemeinerung der E-Gedanke sowie der G-Gedanke zugrunde. Die Einheit,“Eins“ ist eine sich selbst aktiv identisch erhaltende Existenz, auf der als Grundgröße weiter aufgebaut werden kann. Was ist der Unterschied von E als „Sein“ und der Natürlichen Zahl „1“? Die „Eins“ ist eine Konkretisierung des umfassenden Seins, das heißt des E-Begriffes. In der Arbeitsteilung der Einzelwissenschaften und auch im Bereich der menschlichen Erfahrung im Alltag erscheinen als Seiendes, Existierendes sehr unterschiedliche Konkretisierungen von „E“. Das erste Seiende ist das, was man physikalisch als Kraftaspekt bezeichnet, das heißt Sz und Sw. Das „Sein“ ist eine andere Variante von E, und zwar die Grundgröße in philosophisch-ontologischer Sicht.
Um eine geschlossene philosophische Systematik zu erhalten, geht es uns darum, die E-Variante „Eins“ und alle davon ableitbaren Strukturen im Bereich der Natürlichen Zahlen eingebettet in die Gesamtentwicklung, also zwischen biologisch-emotionaler Phase und der abstrakteren und umfassenderen Phase des „Objektiven Geistes“ zu zeigen. In allen diesen Phasen gibt es jeweils spezifische E-Varianten. Sie sind zugleich von dem E-Begriff im Objektiven Geist und von den „materialen“ S-Aspekten in der Ersten Physik bestimmt. Wir reduzieren also das E und damit den Begriff des Eins-Elements letztlich auf Sz und Sw, aber in einem nächsten Entwicklungsschritt dann auch auf z und w und auf das z/w-Gleichgewicht im Quantenbereich.
Grundstrukturen – wie in der Mathematik die Axiome von Peano – sind dann Anwendungen und Konkretisierung der E-Entwicklung. Diese Prägung der Begriffe, Methoden, Theorien und Gesetzmäßigkeiten durch die philosophische Fundierung betreffen jede Phase, das heißt, auch jede einzelne Wissenschaft. Nur weil es diesen Zusammenhang gibt, sind die anderen Bereiche mathematisch erfassbar. Anders ausgedrückt, es ist nicht akzeptabel, die Axiome und die mathematischen Vorgänge als abgekapselt von den anderen Wissenschaften und von der Philosophie zu sehen.
Zu unserem Ansatz gehört es, zwischen den Entwicklungsphasen zu unterscheiden sowie diese andererseits aufeinander zu beziehen. Das kann am Unterschied von „Ziffer“ und „Zahl“ gezeigt werden. Ziffer ist die sprachliche Form. Diese aber vereint in sich alle vorhergehenden Entwicklungsphasen, sowohl die physikalische, nämlich die Materialität des Wortes, des Zeichens, wie auch das Kulturelle und Geschichtliche, welche die Ziffer in verschiedenen Sprachen darstellen lässt. Das eher Triviale, welches die Ziffer kennzeichnet, gewinnt erst eigentlich mathematische Bedeutung als „Zahl“ dadurch, dass die Zahl in sich die genannten Vorphasen im Entwicklungsablauf vereint. Es sind die philosophischen Eigenschaften, die hier expliziert werden sollen. Im Übergang zwischen den drei Phasen, der des subjektiven Geistes, des Objektiven Geistes und zwischen beiden die mathematisch-philosophische Sprachphase.
Die Einteilung in Kardinalzahlen und Ordinalzahlen kann einen weiteren Aspekt verdeutlichen.
Die kardinalen Zahlen werden bei Naturvölkern inhaltlich unterschieden; für fünf Hütten besteht eine andere Zahlbezeichnung als für fünf Kinder. Die Kardinalzahlen haben im allgemeinen Abstraktionsbestreben der Entwicklung noch die Verbindung zu ihren Inhalten behalten Die Reste solcher empirisch bestimmten inhaltlichen Unterscheidungen werden bei den Kardinalzahlen als I/E für Inhaltlichkeit und als N/G für die dazu passende methodische Seite. und als eine Rz-Relation „nach innen“ systematisiert.
Hat die Kardinalzahl noch den I/E-Charakter, so zeigt sich in der Ordinalzahl der allgemeine philosophische Trend, dass die I-Seite von der E-Seite schrittweise abgetrennt wird.. Das kulminiert dann in der Gesamtentwicklung darin, dass die I-Seite in der Mathematikphase eliminiert wird.
Die E-Betonung setzt sich im Mengenbegriff fort, der den Zahlbegriff erweitert. Die Inhaltlichkeit I/E wird durch die „Form“ ( E ) – als Gesamtmenge und als deren Elemente – abgelöst. Anders als die I/E- Innenbeziehung ( Rz ) relationiert die Ordinalzahl „nach außen“. Das wird von uns Rw zugeschrieben. Zum Beispiel ist diese Relation gemeint, wenn die Gleichwertigkeit einer Menge mit einer anderen Menge von Interesse ist. G- Methoden sind dann – anstatt der N/G-Methoden – die zugehörigen Verfahren dieser Beschränkung auf die E-Seite.
Der Übergang von den Kardinalzahlen zu den Ordinalzahlen ist eine frühe Entwicklung hin zu abstrakteren Ebenen. Aber da prinzipiell alle früheren Entwicklungsphasen weiterhin und nebeneinander existieren können, so gilt das auch für diese beiden Zahlenarten.
Auf den ersten Blick hat die deskriptive Behauptung Recht, die Zahlen Null und Eins als „gegebene“ Größen anzunehmen. Andererseits leuchtet genauso ein, dass man die Natürlichen Zahlen nach der konstruktivistischen Erklärung nicht als an sich Existierende, sondern als Produkte des geistigen Handelns sehen kann. Dann sind die Kalküle, hier vor allem die Addition, der konstruierende Erzeugungsprozess. Das Konstruieren betrifft dann alle Natürlichen Zahlen außer Null und Eins, welche durch das N-G der Deskription „gegeben“ sind. Von dieser Zweiteilung, die deskriptivistische Vorgabe E, G und N auf der einen Seite und die N/G-Methoden als erzeugende Kalküle, ist näher auf die Addition als N/G-Modell einzugehen.
Die Natürlichen Zahlen haben ihre mathematische Eigenart einerseits durch N-G, E und durch das auf N/G gegründete Additionskalkül. Das bedeutet, es gibt dort die „Null“( N ) und die „Eins“ ( G, welches das E als Identisches erzeugt) als Basis sowie beider strikte Trennung. Die Trennungen von Nichts und Etwas sowie der Natürlichen Zahlen untereinander ist durch N-G philosophisch integrierbar Das erscheint zum Beispiel auch in der scheinbar willkürlichen axiomatischen Feststellung, „Eins ist nicht Nachfolger irgendeiner natürlichen Zahl“.
Die anderen Zahlenarten, die Rationalen Zahlen und Reellen Zahlen zeichnen sich dadurch aus, dass die Trennung zweier Zahlen aufgehoben wird. Das wird durch die tendenziell unendlich enge Rz- Beziehung bewirkt und begrifflich wird es durch die unbegrenzte Wechselwirkung im N/G -Verfahren verstehbar.
Obwohl die beiden Methoden, das das Nichts erzeugende N-Verfahren und das die Identität erzeugende G-Verfahren, philosophisch gleichberechtigt sind, ist die Beseitigung dieser Gleichberechtigung ein Konstituens der Natürlichen Zahlen. G, E sind für die weitere Entwicklung der Natürlichen Zahlen der Ausgangspunkt, nicht aber N. N, die Null ist ohne Entwicklung. Was allerdings für N in der N/G-Relation ganz anders läuft. Begrifflich entsteht durch das isolierte N jene spezielle Unendlichkeit der Natürlichen Zahlen, welche durch Rw von der vorbegrifflichen Seite bewirkt wird. Durch das G in N/G bleibt jede Natürliche Zahl endlich.
Die axiomatische Aussage „Eins ist Element der Natürlichen Zahlen“ ist durchaus ein Kreisschluss, denn die Natürlichen Zahlen beruhen auf dem Einselement, sie können ohne die Eins nicht gebildet werden. Ähnlich ist es mit der Behauptung, alle diese Begriffe seien solche der Alltagserfahrung. Beide Behauptungen verweisen darauf, dass sowohl logisches Denken, logische Kreisschlüsse wie alltägliches Denken von den tieferen philosophisch erkennbaren Strukturen in ein Gesamtsystem einbezogen werden, dort ihren systematischen Platz haben. Deshalb ist die Feststellung eines „Kreisschlusses“ keine Kritik, sondern eine Bestätigung der Grundlagen G und E, welche die Basis sowohl für das Einselement und seine Nachfolger wie für die Logik sind.
Ein etwas anderer Standpunkt wird vertreten, wenn man von einer praktischen Konstruierbarkeit der Natürlichen Zahlen durch Arbeit, Handlung oder durch sprachliches Handeln ausgeht. Auch hier zeigt sich der philosophische Gesamtzusammenhang, der auch die Alltäglichkeit einschließt und dem die „Eins“ und „Null“ und vielleicht noch die Unendlichkeitsvorstellung vertraut sind, dem jedoch eine radikale philosophische Analyse etwa der Kalküle und vor allem die Reduzierungen auf den R-Aspekt fremd sind. Richtig ist aber, mathematisches Denken und praktische Tätigkeit, Sprachhandeln und Konstruktionsarbeiten allgemein haben als Varianten von Entwicklungsphasen einer gemeinsamen Gesamtentwicklung die gleichen philosophischen Grundstrukturen, die hier als N/G dargestellt werden.
Man kann an Hand der Eigenschaften der Natürlichen Zahlen den Gedanken verdeutlichen, dass die Mathematik eine Sprache unter vielen ist. In allen Sprachen und menschlichen Überlegungen findet sich das komplizierte Verhältnis von Identischem, Endlichkeit, Unendlichkeit und Nichts, das wir als E und N-G zu N/G exakter zu erfassen versuchen. Die unendliche Aufzählbarkeit der Natürlichen Zahlen und die unbegrenzten Möglichkeiten der Alltagssprache haben den gleichen philosophischen Hintergrund. Das betrifft auch E, welche dort als Einselement und in anderen Sprachen als sprachliches, syntaktisches „Subjekt“ und „Objekt“ erscheint: Im Unterschied zur Mathematik sind es bei anderen, zum Beispiel den natürlichen Sprachen, neben den E auch I/E-Relationen, welche den Objektbereich stellen. Weiterhin geht es um die syntaktische Prädikation durch welche das Satzsubjekt mit dem Satzobjekt verbunden wird . Wir modellieren die Verbindung zwischen den beiden durch G und N. In der Theorie der Natürlichen Zahlen ist das der – sprachlich extrem reduzierte – Übergang von einer zur anderen, zum Beispiel zur nächsthöheren Zahl. Diese Verbindung stellen die Kalküle her oder zum Beispiel in der Mengenlehre die Aussage „ist Element von“.Ob nun die Kopula „ist“ oder kompliziertere Prädikationen oder die mathematischen Kalküle wirken, in allen Sprachenarten geht es um derartige Übergänge.
Sie gehen von dem Unterschied der zu verbindenden zwei Seiten aus. Der Unterschied ist nicht beseitigbar und dennoch muss so getan werden, als gelänge das durch den Übergang. Wenn das Subjekt „Eins“ ein Element der unendlichen Menge der Natürlichen Zahlen ist, dann sind die Eigenschaften des Subjektes von denen des Dativobjektes – der Menge – grundverschieden. Dennoch versucht zum Beispiel die Relation „ist Element von“ das zu überbrücken. Das ist nur „denkbar“ als unendliche Wechselwirkung. Sie wird von uns auf das Modell N/G und weiter auf Rz/Rw zurückgeführt. Durch das Rw ist jene Trennung und von Rz der Bezug vom Satzsubjekt zum Satzobjekt letztlich begründet.
Kalküle
In allen Einzelwissenschaften zeigt sich die Eigentümlichkeit, dass man diese Bereiche einerseits unter dem Aspekt der „gegebenen“ Objekte analysieren kann, zum Beispiel als eine „an sich“ existierende Menge von Objekten sowie deren Elemente oder andererseits als eine geregelte Konstruktion. Im Bereich der Natürlichen Zahlen sind das die Zahlen und die Kalkül-Verfahren. Nun gilt aber weiterhin, je entwickelter ein Bereich ist, umso mehr trennen sich beide Aspekte – die Objekte und die Verfahren – voneinander, um aber doch wissenschaftlich auf neue Art wieder verbunden zu werden und zugleich philosophisch in ihren jetzt mannigfachen Arten des Zusammenhangs deutlicher erkennbar zu werden. Der Grund dafür ist von „z,w zu z/w“ vorgegeben. Wie in jener quantentheoretischen Anfangssituation, so konfrontiert zum Beispiel das Additionskalkül zwei „einander Andere“, nämlich,die Summanden, und hebt ihre Trennung in der „Summe“ auf.
Dieser grundlegende Vorgang konstituiert auch Vorgänge außerhalb der Mathematik. So hat der bereits genannte enge Bezug und die gegenseitige Aufhebung von Produktion und Produkt, bei der das eine ohne das andere keine Existenz hat, seine mathematische Variante im Verhältnis „Zahl zu Kalkül“.
„Jede Natürliche Zahl hat genau eine Natürliche Zahl als ihren Nachfolger“. Dieses Peanosche Axiom wird philosophisch durch die Basisgröße Rw bestimmt. Das Additionskalkül baut darauf auf. Rw bedeutet, dass es zwischen Zahl und Nachfolger eine Trennung gibt, denn Rw ist als „Abstoßung“ beschrieben. Vor allen aber bedeutet es die weitere Eigenschaft von Rw, das Streben der Zahlerzeugung in eine unbegrenzte „Weite“. Diese eindimensionale Erzeugung von Unendlichkeit ist eine verkürzte Variante der „allgemeinen Entwicklung“, bei der das I durch Rw vertreten wird. Die „allgemeine Entwicklung“ ist tatsächlich das Verhältnis von E-Entwicklung in Relation zur I-Entfaltung. Aber in der Mathematik verkürzt sich das um alle I in den Einzelphasen bis auf Rw. Eine augenfällige Vereinfachung der allgemeinen Entwicklung zeigt sich dann in jener Eindimensionalität in der Abfolge der Natürlichen Zahlen, und darin, dass stets nur ein Nachfolger erzeugt wird. Diese spezifische Einschränkung der I-Seite, also hier auf Rw, ist auch die Ursache dafür, dass es bei der Erzeugung der Natürlichen Zahlen keine „qualitative“Entwicklung gibt. In gewisser Hinsicht sind alle diese Zahlen „qualitativ“ gleich. Das gehört zur philosophischen Basis der „Quantifizierung“. Dazu passt auch das Peanosche Axiom, dass „alle Natürlichen Zahlen die gleiche Eigenschaft wie die Eins haben“. Was natürlich auch ohne die Einbindung in eine philosophische Systematik eine empirische Alltagserfahrung ist.
Die weitere Wirkung von Rw ist die, strikt vorwärts zu treiben. Die scheinbar triviale Peanosche Aussage, dass jede Zahl einen Nachfolger hat und dass „verschiedene Natürliche Zahlen stets verschiedene Natürliche Zahlen als Nachfolger haben“ wird durch jene Rw-Eigenschaft mithin notwendig und hinreichend fundiert. Bei den Rationalen Zahlen, den Reellen und Komplexen Zahlen muss man dann neben Rw auch Rz berücksichtigen, also Rw/Rz bilden; das verändert viel.
Oben wurde gesagt, dass es einen nicht zu überwindenden Abgrund zwischen Null und Eins und auch zwischen allen Natürlichen Zahlen gibt. Hintergrund dafür sind traditionelle axiomatische Festlegungen zur Definition der Natürlichen Zahlen, vor allem ihrer Abtrennung von anderen Zahlen-Arten. Unsere Betrachtung hält sich nicht an diese Trennungen, vor allem nicht an die Trennung der Zahlen von den Kalkülen, also der Trennung der Objekte von den Methoden. Indem die N/G-Methoden genutzt werden, wird der Abgrund zwischen allen Natürlichen Zahlen insbesondere der zwischen Null und Eins durch die Rationalen und Reellen Zahlen geschlossen. Damit ist N/G zugleich der Motor für die Erzeugung und die Form dieser beiden Zahlen-Arten. Die N/G-Methodik stützt sich natürlich auf die Rw/Rz-Relation.
An dieser Stelle kann man wieder einmal verdeutlichen, dass jedes mathematische Detail von der Relation „N-G zu N/G“ bestimmt wird. Die Addition wird von uns zunächst auf die zweifache Dynamik zurückgeführt, welche N und G aufeinander ausüben. Hegelsch beschrieben geht es bei der Addition darum, dass zwei Summanden sowohl eine Verbindung zueinander haben müssen (G ) und auch zugleich einander fremd ( N ) sind, also N-G. Der Additionsakt hebt als N/G diesen zweifach unendlichen und dynamischen Widerspruch als „Summenbildung“ auf. Alle Kalküle haben dies zu ihrer Kernstruktur.
Dann aber wird diese Überlegung gewissermaßen „naturalisiert“, wenn die N/G-Beziehung von der doppelt unendlichen Relation Rw/Rz hergeleitet wird. Die Trennung zwischen den Summanden und der Vereinigung beider in der Summe ist nur erklärlich durch die objektiv gegebene Quantensituation und deren zwei Phasen „z,w“ und „z/w“sowie beider Übergänge ineinander, welche auf der Trennungsfunktion von Rw und der Vereinigungsfunktion von Rz beruhen.
Die Rz und Rw wirken als Antrieb und die Wechselwirkung in Rw/Rz als die Veränderung in einem Übergangsfeld, dessen einer Pol die beiden Summanden sind – beziehungsweise die Ausgangszahl und die stets addierte Eins – und der andere Pol die Summe, beziehungsweise der „Nachfolger“.
Ein weiteres Axiom von Peano führt aber über den Mechanismus Rw/Rz und über die Grundstrukturen der Natürlichen Zahlen hinaus. Das Axiom „sind die Nachfolger zweier Natürlicher Zahlen untereinander gleich, so auch diese Zahlen selbst“ nutzt den Gedanken der Gleichheit in einer Weise, deren Fundierung jetzt in jenen Aspekten der Mathematik liegt, die von G, E bestimmt werden. Der die Natürlichen Zahlen konstituierende Grundgedanke der „Nachfolge“ stützt sich auf Rw. Er ist mit dem Grundgedanken „Gleichheit“ unvereinbar. Es gibt bei den Natürlichen Zahlen dank Rw keine zwei gleiche Zahlen. Der Gedanke der „Gleichheit“ist aber auch ein Beispiel dafür, dass Rz/Rw und G, E doch zusammenhängen. An anderer Stelle wird die statische „Gleichgewichtigkeit“ der beiden Richtungsarten, also Rw/Rz aus Rz und Rw, als G und E dargestellt. Es ist sogar so, dies Axiom kann nur formuliert werden, beziehungsweise der Sachverhalt existiert nur, weil es beide Möglichkeiten von Rz/Rw gibt, die dynamische Wechselwirkung und die statische, welche begrifflich als E und als G dargestellt werden darf, da das gleichgewichtige Rz/Rw-Verhältnis die Dynamik neutralisiert.
Man kann die Kalküle nicht nur aus der lebensweltlichen Erfahrung als gegeben annehmen. Vielmehr ist auch das Erfahrungsdenken bestimmt von dem – freilich verborgenen – Widerspruch zwischen der grundsätzlichen Unterscheidbarkeit, die wir als „N zu G“ abstrahieren und deren Vereinigung und Aufhebung als N/G. In der Addition ist das zum Beispiel die Unterscheidung der Summanden und der vorauszusetzenden Annahme, dass sie doch etwas Gleiches gemeinsames haben müssen, um überhaupt vereint zu werden. Diese Hegelsche Konstruktion wird von uns in ihrer notwendigen unendlichen Dynamik des Annäherungsprozesses als Aufhebung des Widerspruchs, mit dem Rw/Rz- Modell der Ersten Physik verbunden.
Das Wechselspiel der verschiedenen Unendlichkeiten, das von uns begrifflich als N/G modelliert wird, bestimmt alle Kalküle. Von N/G wissen wir, dass es I erzeugen kann. Diese Zielfunktion, das worauf die jeweilige mathematische Funktion als Ergebnis hinzielt, erscheint dann als neues E, eben die Summe beispielsweise.
Das Additionskalkül
Die Addition soll hier mit der allgemeineren Methode N/G und dabei mit dem dialektischen Ansatz verglichen werden. Die Verwandtschaft mit der ausgearbeiteten dialektischen Methodik Hegels ist unübersehbar. Beide Verfahren gehen von dem „Widerspruch“ in der Anfangssituation aus. Das ist in der Addition die anfängliche Unverbundenheit der beiden Summanden. Bei uns ist es „N – G“, der allgemeinste Gegensatz zwischen G als der aktiven Identifikation, nämlich die Dynamik des freien, isolierten G und der N-Dynamik des aktiven Negierens. Beide Verfahren haben ihre Begrenzung nur aneinander. Sie erhalten ihre unendliche Gerichtetheit von den Rw und Rz. Hegel kannte noch keine derartige Verankerung dieser Einsichten in einer möglichen Modellierung der Ersten Physik.
Das Zusammenspiel beider unendlichen Bewegungen, welche das Neue erzeugt, ist das eigentlich Uneinsehbare, das was diese fortgeschrittenen Verfahren schwer verständlich macht. Wann sind die Summanden noch getrennt und wann und wie wird diese Trennung beseitigt? Man spricht dann zum Beispiel von „Aufhebung“, um das Neue dieser Methode anzudeuten. Eine „Erklärung“ kann nur eine von ganz neuer Art sein. Das leistet die Reduktion auf „z-w zu z/w“, weil dadurch die Spezifik der S-Verläufe und der R-Aspekte zur Erklärung genutzt werden.
Diese objektive Additions-Bewegung zu einem „Ziel“ ( I ), nämlich der Summe, dem „Ergebnis“, ist eine Variante der E-Entwicklung, die stets nach dem gleichen Grundschema abläuft und die in allen wissenschaftlichen Bereichen ihre spezifischen Varianten hat.
Diese Erweiterung der Dialektik wird mit dem Einbezug der Quantentheorie und den Entwicklungsphasen – von den Rz/Rw bis N/G – erreicht. Alle N/G-Methoden stehen zusammen mit den N-G-Methoden in einem umfassenderen Entwicklungsschema, welches hier zunächst nur für die Mathematik wichtig ist, aber weit darüber hinaus geht.
Die inhaltliche Seite wird analog dazu in der Relation „I/E zu I-E“ entwickelt. Sie hat einen Übergang zur methodischen N,G-Seite. Anders als in den Kultur- und Naturwissenschaften spielt aber, wie gesagt, die inhaltliche Seite in der Mathematik keine Rolle.
Die Unendlichkeit
Die Unendlichkeit, wie sie zum Beispiel mit den Natürlichen Zahlen verbunden ist, ist keineswegs willkürlich oder unbestimmbar, es ist kein freier Bereich ohne Grenzen in jeder Hinsicht. Anders ist das beispielsweise im Bereich der psychologisch erklärbaren menschlichen Phantasie, wo es für I keine quantitativen und qualitativen Grenzen gibt Der Unterschied ist der, dass die zentrale philosophische Größe, welche für Willkür und phantastische Freiheit steht, das isolierte I ist. Aber in der Mathematik ist dieses freie und subjektive I prinzipiell nicht vorhanden. In der Mathematik allerdings wirken freie unendliche Grundgrößen durchaus. Die isolierten N und G und die Rw und Rz sind solche. Isoliert sind die N und G, wenn sie nicht als Relationierungen – N-G und N/G – aneinander gebunden sind. So erklärt sich die spezifische Unendlichkeit der Natürlichen Zahlen durch das unendliche Streben, Rw, das aber stets sowohl mit N verbunden ist, der Möglichkeit des Nichts – zum Beispiel als die Zahl Null – als auch mit G, der Notwendigkeit, Identitäten bilden zu müssen.
Das N-G-Verhältnis ist zweifach unendlich „offen“ und nach außen gerichtet, während das N/G-Verhältnis durch zwei interne und aufeinander zu (G von Rz her) und voneinander weg ( N von Rw her) gerichtete, aber auch unendliche Bezüge gebildet wird. Beides sind dabei „Abbilder“, besser gesagt Entwicklungsphasen von z,w und z/w. Da es möglich ist, durch unendlich viele Schritte, N/G auf N-G zurückzuführen – und umgekehrt – wird wiederum die Grundposition von Mathematik erfüllt, nämlich die Relation „N-G zu N/G“.
Mengentheorie
Die systematische philosophische Rekonstruktion des mathematischen Wissens wird, wie gesagt, von uns als N-G, E und N/G, R-Aspekt verstanden. Die Mengenlehre ist ein Repräsentant nur von N-G,E. Wenn man von der gleichfalls gegebenen Möglichkeit der strikten Trennung zwischen N-G, E von N/G und vom R-Aspekt ausgeht, dann können die N/G und der E-Aspekt jenen Teilen der Mathematik zugeschrieben werden, die beispielsweise mit der methodischen Anschauung in der Geometrie arbeiten oder sogar jenen, die in Erklärungen mit dem Begriff der Intuition argumentieren. Beides ist der Mengenlehre fremd.
Die mathematische Menge wird von E bestimmt. Das sind die Elemente der Menge, als E (1 bis n), und En, die Menge als Ganzes. Beider Verbindungen als N/G bedeutet, dass es zwischen den Elementen E (1 bis n), zwei Beziehungen gibt, sie sind einander gleich ( G ), weil nur so ihre Zusammenfassung in der Menge möglich ist, und sie sind Verschiedene ( N ); es sei denn die Menge besteht nur aus einem Element. Und N tritt mit G in ein nicht leicht zu verstehendes Wechselwirkungsverhältnis, die N/G-Relation. Bei „N-G“ dagegen ist N von G getrennt und G erzeugt nur dann eine Menge, wenn diese aus dem einen Element E besteht. N-G,E ist eine maximale Abstraktion. Sie wird von vielen idealistischen Systemen genutzt. Dort verzichtet man auf I, I/E in jeder Weise. Wenn man allerdings wieder die Verbindung dieser idealistischen Denk-Gebiete zur „wirklichen Welt“ herstellen will, muss man neben I und I/E auch die N/G-Methoden hinzunehmen und damit deren dynamische Tendenz akzeptieren.
Der Mengenbegriff kann auch deshalb als eine Verallgemeinerung gegenüber dem Zahl- Begriff angesehen werden, weil das Teil-Ganze-Problem dadurch ausdifferenzierbar wird. Die Teilmengen können – wie es bei den Natürlichen Zahlen geschah – auf Grund der Rw von der Ausgangsmenge getrennt werden. Diese Trennung wird jetzt aber mathematisch wesentlich, sie verliert ihre alltägliche Selbstverständlichkeit. Im Teil-Ganzes-Problem ist die Trennung stets zugleich auch eine Meta-Verbindung, das heißt, die Trennungsaktion in N-G ist zwar als „negative“, aber dennoch als Relationierung anzusehen. Das modellieren wir als N/G, das damit in einer Meta-Position zu N-G steht. Seit Hegel hat man N/G als „dialektische“ Beziehung beschrieben, wir erweitern das zu „N-G zu N/G“, was hier bedeutet, dass auf das N-G in bestimmten Situationen nicht verzichtet werden kann..
Unsere philosophische Arbeit besteht auch darin, die mathematische Ausdifferenzierung der Mengentheorie mit Hilfe der Möglichkeiten von Rz/Rw zu erklären, sowie darin, die zwei E-Varianten – Menge,Ganzes und Teilmenge,Teil – gegenüber der traditionellen philosophischen Teil-Ganzes- Problematik und der mathematischen Spezialisierung mit Hilfe der allgemeinen E-Entwicklung zu erfassen
Systematisch wesentlich ist für die Mengenlehre, dass in ihr die Identifikationsbewegung ( G ) von Elementen, Teilmengen, E1, zu einem Ganzen, En, führt. Diese Umschreibung der Definition der Mengenlehre, nach der die Menge sich aus dem Verhältnis der Elemente bildet, wird eben durch N-G, E erfüllt, das heißt zwischen den elementaren E und der Menge als E wird allein die G-Relation angenommen.
Für uns ist wichtig, dass man die mengenmäßige Betrachtung als einen leeren aber umfassenden Rahmen gelten lassen muss, in den weitere Strukturen eingehängt werden, nämlich jene Seiten der Mathematik, welche durch N/G und den R-Aspekt modelliert werden können. Es bildet sich dadurch wiederum N-G zu N/G.
Die Unendlichkeitsproblematik hatte die Verbindung von N-G zu N/G hergestellt. Die zwei Arten der Unendlichkeit, die durch Rz gegen das physikalische Nichts ( N ) und mathematisch gegen Null ( N ) streben sowie Rw, das Raum und Zeit tendenziell unendlich aufspannt und als G begrifflich fassbar ist, also N-G, können so allein kaum akzeptabel gemacht werden, denn die entsprechende Dynamik wird erst durch N/G erzeugt. Die N-G-Position könnte höchstens ausdrücken, dass es einerseits ein „statisches“ Nichts ( N ) gibt und auf der anderen Seite eine unendlich leere Identität, die aber natürlich auch etwas „Statisches“ ist, nämlich auf ihren unendlich vielen leeren Metaebenen.
Die Mengenlehre akzeptiert das, indem sie die mathematische Unendlichkeit „axiomatisch“als aktuale Existenzauffassung ( E ) hat. Dann stellt sich die Frage, wie ist es möglich, mit unendlichen Mengen zu „rechnen“. Einerseits stecken in allen Kalkülen zwei Unendlichkeiten, durch N/G modelliert. Andererseits gibt es die Form der „aktualen Unendlichkeit“. Sie ist dann also nicht nur irgendwo in der „Weite“ vorhanden, sondern in jedem Kalkül. Dieser „aktuale“ Aspekt ist ein Übergang zu E, das übrigens als isolierte Größe ebenfalls von unendlicher Leere ist. Das lässt – auch wohl für das an E und G geschulte – intuitive – Gefühl, das Rechnen mit unendlichen Mengen zu.
Geometrie
Die Geometrie kann als Übergang von der begrifflichen Erfassung der dinglichen und sinnlichen Welt zur abstrakten, letztlich der des Objektiven Geistes verstanden werden. In allen Teilgebieten der Mathematik wird vom Menschen der hermeneutische Versuch gemacht, Abstraktes sinnlich zu veranschaulichen; das ist zugleich der spontane Versuch, den Zusammenhang der hier beteiligten Phasen – der Dingwelt, der menschlichen Subjektivität und dem Objektiven Geist – und damit der Gesamtentwicklung zu erhalten. Aber zur Dynamik der Entwicklung gehört es, dass im Übergang vom subjektiven zum Objektiven Geist jegliche Anschauung beseitigt wird.
Die Axiomatik der herkömmlichen Geometrie ist ebenso wie die aller anderen traditionellen wissenschaftlichen Bereiche in jenem z/w- Großbereich verankert, der auch das alltägliche und idealistisch-mechanische Denken fundiert. Geometrische Größen wie „Punkte“, „Geraden“, „Winkel“ etc sind von Anschauung, Erfahrung und Praxis bestimmt. Nun zeigt aber die Analyse der Raumzeit als Detail des z/w-Großbereiches, man kann einerseits die Anzahl der Rw und Rz vermehren und damit neue Raumarten schaffen und man kann andererseits die Rz/Rw auch auflösen und daraus nicht nur die I-Kategorie gewinnen, sondern auch Unendlichkeiten aus freien Rw oder Rz. Anders gesagt, die modernen Geometrien streben deswegen über den z/w- Großbereich hinaus, weil es neben diesem den z,w-Großbereich gibt. Die Entdeckung der nicht-euklidischen Geometrien zeigte, dass das sinnlich-gegenständliche Verständnis, das man für die geometrischen Erscheinungen hat, durch weitere Überlegungen ergänzt werden muss, welche durch z,w initiiert sind.
Die mathematisch-geometrischen Teilbereiche müssen aber auch als abstrakte geistige Produkte aufgefasst werden. Wir ordnen der euklidischen Geometrie deshalb zunächst die N-G, E als Denkfunktionen zu. Die G-Methoden erzeugen dabei die empirischen E-Erscheinungen, zum Beispiel wird der „Punkt“ durch eine Identifikationsmethode ( G ) erzeugt. Diese einfachen Methoden werden dann von uns ergänzt durch die N/G-Methoden. Was bereits über die traditionellen Begründungen der Euklidischen Geometrie hinaus führt. Auf der abstrakt-begrifflichen Ebene kann dann die Geometrie mit Hilfe der E, N, G und dem R-Aspekt modelliert werden. Der „Punkt“, der zugleich E und G, aber auch ohne Ausdehnung, also Nichts ( N ) ist, wird mit der N/G-Relation gleichsetzbar. N/G ist aber auch eine „Bewegung“, nämlich zum Beispiel die zur Herstellung einer Geraden aus einem Punkt. Die N/G Dynamik ist stets mit einer Richtung zu verbinden. Das ist im Räumlichen die Rz- und Rw-Größe. Von der Geraden führen analoge Überlegungen zur Herstellung der Ebene sowie zu den weiteren Kategorien der Euklidischen Geometrie.
Nach unseren Vorstellungen sind sowohl die N-G- wie die N/G-Methoden als Denkverfahren durch jenen z/w-Großbereich fundiert, den man in seiner formalen Hinsicht als Raumzeit bezeichnen kann und der die eine Phase der Quantenphysik darstellt. Somit ist die Euklidische Geometrie eng mit der Raumzeit und damit mit der normalen Dingwelt verbindbar.
Es gibt aber noch die andere Quantenphase, die wir als z,w modellieren und in der die z sich aufeinander beziehen, aber getrennt von den w sind, die sich ihrerseits hier nur aufeinander beziehen. In ihren physikalischen Inhalten geht es zum Beispiel um Gravitationsfelder und um elektrodynamische Felder. Ist es so, dass die Euklidische Geometrie die räumlichen Verhältnisse deshalb wahrheitsgemäß darstellt, weil in der z/w- und Rz/Rw-Phase keine andere Möglichkeit denkbar ist, so wirken jenseits der z/w-Gleichgewichte in der z,w-Phase freie S-Kräfte mit R-Richtungen. Die „elliptische“ Geometrie kann dann verstanden werden als ein Ungleichgewicht zwischen Sz und Sw in der konkreten Realität, und deren geometrisches Gegenstück ist ein Ungleichgewicht zwischen Rz und Rw. Die Parabolische und die Hyperbolische Geometrie werden dann von Sz, Rz – Übergewichten beziehungsweise Sw, Rw-Überschüssen geformt und in ihren Strukturen bestimmt. Die abstrakten Kategorien dieser realen Vorgänge ruhen auf den R-Aspekten der z und w. Das heißt aber, die Erweiterung der Geometrie bezieht den z,w- Großbereich mit seinen Unendlichkeiten etc in den z/w-Bereich ein. Es entsteht die „z-w zu z/w-Relation“. Sie ist wiederum das physikalische Gegenstück zur Mathematik als N-G zu N/G.